Troisième cas : S(S) n'a pas de période
D'après ce que nous avons déjà vu, ^* ou S est une fonction uniforme de X. On doit supposer X(a7) sans aucune période; autrement, on serait ramené (sauf échange de $ avec x) à l'un des cas déjà examinés. En conséquence, x^ ou x est une fonction uniforme de Ç et il existe une relation homographique entre Ç^ ou ^ et x^ ou x.
i^ Soit d'abord
Aa?*-+-B
Cette équation conduit à des expressions de même forme exacte-
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ment, aux coefficients près, pour X(x) et E(S). Le calcul donne
2? Soit à présent
Aa;-HB
On déduit de là
XW = (^y = (Mx + P)( Ax + B)',
3** Quand \ est uniforme en x^ il n'y a pas lieu d'établir une relation homographique entre Ç et a?^. C'est, aux notations près, ce qui vient d'être fait. Soit donc
et
Cette relation donne
On voit que toutes les expressions de X et de S obtenues dan» le troisième cas rentrent dans des types déjà rencontrés.
13. Arrivés au terme de notre discussion, nous reconnaissons que le problème fonctionnel, en apparence fort indéterminé, que nous nous proposions, n'admet que des solutions dont les formes analytiques sont parfaitement déterminées, et où il ne reste d'arbitraire que certaines constantes, en nombre restreint, huit au plus. Ce problème admet comme solutions toutes les fonctions X que nous connaissions déjà comme concourant à former des solutions de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques et il iC en ^ pas d'autres. C'est ce qui ressort de la discussion même.
Mais nous avons aussi acquis un autre résultat important, c'est que
ÉLÉMEI«TS LII4ÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES. 385
toute solution du problème est une fonction rationnelle^ soit de p{x)y soit de e"*^f soit de x lui-même. Il en est donc de même de toute solution X de l'équation aux éléments linéaires doublement harmoniques; et la loi de réciprocité nous apprend que les formes analytiques des fonctions ^{x -^ y)^ f(^x — y^ wç, seront pas différentes de celles de X, qui sont aussi celles de Y.
La détermination complète de tous les éléments linéaires doublement harmoniques est donc ramenée dès maintenant à une simple question de calcul. Dans Téquation fondamentale
on substituera les diverses expressions qui viennent d'être trouvées pour X, pour Y, pour <p et pour/, en les combinant de toutes les manières possibles, et on déterminera les constantes restées arbitraires dans ces expressions de manière à vérifier, quels que soient a; et y, l'équation proposée. C'est là une pure question d'Algèbre, qui ne présente aucune difficulté, puisque dans chaque cas les inconnues sont en nombre limité, assez restreint même. Mais elle semblerait exiger d'assez longs développements, à raison du nombre des cas à traiter. Nous allons voir qu'on peut réduire dans une proportion considérable les calculs à effectuer.
Écartons d'abord les cas où l'on combinerait une fonction <p (a? -4- y) et une fonction /(x —y) telles que l'élément linéaire (ç — f)dxdy convînt à une surface de révolution (développables et surfaces à courbure constante comprises). Nous connaissons les solutions X et Y correspondantes.
Si l'élément linéaire ((f — /)dxdy ne convient pas à une surface de révolution, nous savons et nous avons rappelé au début de ce Chapitre que les deux dérivées logarithmiques de X — Y sont entièrement déterminées par la connaissance de ç — /. Il suit de là que, si l'une des fonctions ç ou /, la première par exemple, admet la période 2(i>, les fonctions X et Y auront la même période. Car, augmentant x et y de (o, ce qui ne change pas ?(^ H-y) par hypothèse, ni/(x — y) qui ne dépend que de la différence x — y, on ne change pas les dérivées loga-
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rîthmiques de X — Y. En conséquence, on a
X(a; + 0)) - Y {y + to) = C\\{x) - \{y)-\, C étant une constante. De là résulte, avec une nouvelle constante y,
X{x -f- (o) = CX(^) -h y, Y ( j -f- a>) = CY{y) -h y.
Donc les fonctions X et Y ne sont pas rationnelles (à moins d'être linéaires, cas qui se traite à vue). Elles sont donc périodiques de période mœ, m étant un entier, ce qui permet de leur attribuer la même période qu'à ç. On déduit alors de la loi de réciprocité que /a aussi la même période, en sorte qu'on ne devra grouper ensemble, pour les substituer dans l'équation fondamentale, que quatre fonctions X, Y, ç,/ rationnelles, ou quatre fonctions simplement périodiques de même période, ou quatre fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes.
Ce dernier cas peut d'ailleurs être laissé de côté, ayant été déjà traité. Les deux autres ne présentent aucune difficulté et ne donnent que des éléments linéaires de développables, de surfaces à courbure constante, de surfaces de révolution ou des éléments linéaires figurant dans le Tableau placé en tête de ce Chapitre. Le problème des éléments linéaires doublement harmoniques est donc complètement résolu.
