DE M. SOPHUS LIE

\. Dans son Mémoire déjà cité (*), M. S. Lie s'est proposé de trouver les éléments linéaires de toutes les surfaces dont les lignes

(*) Untersucliungen ùber geodàtisclie Curven (Mathem, Annalen, t. XX, p. 357-454)-

géodésiques admettent des transformations infinitésimales. Il a été conduit à répartir ces surfaces en trois classes, et il a montré que pour toute surface de troisième classe l'élément linéaire est réductible à la forme harmonique

ds"" =[<f(x -h y) - /(x - y)]dxdy.

Mais les fonctions <p et/ne sont pas arbitraires; car, si l'on pose

9o(^'+-y) = f<f(oo-^-y)d(x-^y), /o(o(^-y)=f/(^-y)d{x-y),

il doit exister deux fonctions, l'une Xo de Xj l'autre Y^ de y^ telles qu'on ait identiquement

C27y i(Xo + Y',)(9-/)4-X.(ç'-/) + Yo(ç'+/') ^ 7^ I =A(?-/)+4(?»-/»)-2(ço<p''-/./'),

A étant une constante indéterminée (p. 379. Nous avons dû modifier légèrement les notations de l'auteur).

Arrivé à cette équation, M. 1-ie fait observer qu'en la traitant par des difiTérentiations successives on serait conduit à des équations différentielles très compliquées, a C'est pourquoi, dit-il, j'ai dû me borner à en déterminer par des méthodes spéciales, mais rationnelles, une série de solutions particulières ».

2. Avant d'aller plus loin, remarquons que si l'on désigne par ù le premier membre de l'équation (27)', cette équation entraîne

ou, tous calculs faits,

C'est précisément l'équation fondamentale qui exprime que l'élé-

Journ, de Math, (^« série), tome X. — Fasc. IV, 1894. 5o

388 L. RAFFY.

ment linéaire {^^f)dxdy reste harmonique après le changement de variables

dx'=-jÉ^. dy= "^^ '

c'est-à-dire qu'il est doublement harmonique, si X'^, et Y'^ ne se réduisent pas à la même constante. On a donc cette propriété, trouvée autrement par M. Lie dans la Note II de son Mémoire :

Toute surface de troisième classe pour laquelle on n^a pas X'j, = Y'^ = const. est une surface doublement harmonique.

Il suit de là que la troisième classe de M. Lie comprend deux catégories de surfaces : i** celles pour lesquelles X',, — Y'^, est différent de zéro; i° celles pour lesquelles X'^ — Y'^ est nul.

Les surfaces de la seconde catégorie sont certainement harmoniques; elles peuvent être applicables sur des surfaces de révolution (p. 409) sans être, à proprement parler, harmoniques, c'est-à-dire sans que leur élément linéaire soit réductible à la forme (ç — f)dxdy autrement qu'avec la restriction ?/= o. Mais elles peuvent aussi être doublement harmoniques, l'équation (27)' admettant d'autres solutions en même temps que X'^ = Y'^, = const.

La première catégorie ne comprend que des surfaces doublement harmoniques; mais il s'en faut de beaucoup qu'elle les comprenne toutes. C^est une catégorie de surfaces doublement harmoniques très particulières puisque leur élément linéaire (ç — f)dxdy doit satisfaire, non pas à l'équation générale

(X;-^Y;)(ç-/) + Xo(9'-7') + Yo(9'+/') = ^(x -h y) - F(x - y),

rigoureusement équivalente à l'équation (27)" quelles que soient les fonctions <P et F, mais à l'équation (27)', où ces fonctions dépendent de ç et de / :

* = A? ^- 49' - 2?o?", F = A/^- 4/^ - 2/0/''. Donc la recherche des surfaces de troisième classe est un problème

beaucoup plus déterminé que la recherche des surfaces doublement harmoniques.

3. C'est ce qui explique pourquoi M. Lie rencontre parfois des éléments linéaires doublement harmoniques sans les signaler comme tels et restreint leur généralité pour les faire rentrer dans la troisième classe. Ainsi, soit à trouver les éléments linéaires de toutes les surfaces qui peuvent être représentées sur certaines surfaces avec conservation d'une seule des familles de longueur nulle^ et sur d' autres avec conservation de ces deux familles. L'ensemble des solutions de ce problème est fourni, d'après M. Lie, par les trois expressions

ds^= [L, smysm(2x -4- h)-{- M^ sino:] cosy dx dy^

ds'=\A[{x-^yy-(x^yy]

-h B[(x -^-yy — (x -yy] -h C[(x +7) - (a? - y)] j dx dy,

ds'=\A[(x ^yy -(x ^yy]

B[(x^yy--(x--yy-i-hC[(x^y)-(x^y)]\dxdy,

où L<, M<, A, A, B, C sont des constantes arbitraires. Particularisées de manière à rentrer dans la seconde et la troisième classe, elles se réduisent (p. 4o3) au seul élément linéaire (xy ■+- a)dxdy. Mais on peut, ce que ne fait pas l'auteur, remarquer que ces éléments linéairesy pris dans toute leur généralité y sont doublement harmoniques. Car ils rentrent visiblement dans les types I et II du second groupe de solutions (provenant des surfaces à courbure constante) qui figurent au Tableau de notre précédent Chapitre (n** 3). On arrive ainsi à cette proposition, qui complète la théorie de la représentation géodésique des surfaces : Toute surface susceptible d'être représentée géodésiquement sur certaines surfaces avec conservation d'une seule des familles de longueur nulle et sur d'autres avec conservation de ces deux familles est une surface doublement harmonique.

4. En ce qui concerne la recherche des éléments linéaires de troisième classe et de première catégorie, observons que ce problème est

SgO L. RAFFY. — ÉLÉMENTS LINÉAIRES DOUBLEMENT HARMONIQUES.

implicitement résolu au Chapitre précédent. Puisque nous avons trouvé /of^^leséléments linéaires doublement harmoniques (ç —f)dxdy et tous les couples correspondants de fonctions Xet Y, il suffira d'effectuer les quadratures

(f,=J(fdt, f,=J^/dz, Xo=fXdx, Y^=:jYdy,

et de substituer dans l'équation (27)' de M. Lie pour en obtenir toutes les solutions, en particularisant d'une façon convenable les constantes qui sont arbitraires dans nos formules.