PREMIÈRES SOLUTIONS

1. L'objet de ce travail (') est la détermination de tous les éléments linéaires harmoniques qui conviennent à des surfaces spirales. Tel est, par exemple, le suivant

oii les lettres a, b, m désignent des constantes arbitraires. En effet, d'après une proposition due à M. Maurice Lévy, tout élément linéaire homogène, de degré autre que — 2, appartient à une infinité de spirales.

Du type précédent on peut d'ailleurs déduire deux autres solutions du problème. En effet, si nous faisons

(1) Troisième Partie de mes /Jec-Z/ercto 5ttr /^j surfaces harmoniques, qui ont obtenu de l'Académie des Sciences une mention honorable dans le concours pour le prix Bordin (1892). L'auteur, ne devant pas se faire connaître, ne pouvait renvoyer à ses travaux antérieurs. La citation en sera faite en note, entre crochets. La première Partie de ces Recherches parait dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, la seconde a paru dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (année 1894).

Ann, de VÈc, Normale, 3« Série. Tome XII. — Mai 1895. 19

l4G L. RAFFY.

Texprcssion {m) peut s'écrire

Quelles que soient les valeurs attribuées aux paramètres n, a, p, elle donne un élément linéaire de surface spirale. Faisant croître n indéfiniment, on arrive à la formule

De même, dans l'expression {m) posons

il viendra

Faisant croître m indéfiniment et supprimant les accents, nous trouvons le nouvel élément linéaire

Mais il serait téméraire d'affirmer que tous les éléments linéaires harmoniques appartenant à des spirales rentrent dans le type (/w), dont les expressions (/) et (e) ne sont que des dégénérescences. Ce serait admettre qu'ils ne peuvent prendre la forme harmonique que quand on les exprime au moyen de variables qui les rendent homogènes; or nous verrons qu'il n'en est rien.

2. 11 y a donc lieu de rechercher ces éléments linéaires par un procédé propre à les donner tous. A cet effet, nous résoudrons complètement, pour le cas des spirales, l'équation indéterminée

qui exprime que l'élément linéaire é^dxdy acquiert la forme harmonique

par le changement de variables

L'élément linéaire des spirales pouvant toujours être écrit

nous prendrons

co=:— i{x ~~y) -h J'T{t)dt, t — x -hy;

en sorte que notre équation de départ deviendra

Telle est Téquation qu'il s'agit de résoudre dans toute sa généralité. On ne peut espérer qu'une pareille équation, où figurent trois fonctions inconnues, l'une X dépendant de x seulement, l'autre Y de j, la troisième T dépendant de œ-hy, soit d'une solution facile et prompte. Mais, si l'analyse qu'elle exige est longue et délicate, elle fournit presque à chaque stade de la discussion des résultats nouveaux. Elle permet, en outre, de distinguer, ce qui est indispensable, les éléments linéaires simplement harmoniques de ceux qui le sont doublement. Un raisonnement direct montre qu'un élément linéaire de spirale ne peut être simplement harmonique que si X et Y se réduisent à des constantes ou à des exponentielles {voir la note p. igS). C'est pourquoi nous allons examiner à part ces deux hypothèses.

Solutions où X et Y sont des constantes.

3. Quand on suppose X et Y constants, l'équation (F) se réduit à

Il n'y a pas lieu d'admettre X = \^; on aurait T = o, ce qui ne

donne que des surfaces développables. Soit donc X — Y?^o. Si nous

faisons