X-hY
:^ — := i col 2 a,
l'équation précédente devient
T'-hT*-h2Tcol2a— i = o.
l48 L. RAFFY.
Elle s'intègre par une quadrature et donne
d ( iris. ^Lih\
De là on remonte facilement à l'élément linéaire
OÙ G et /o sont deux constantes arbitraires. La seconde étant inutile, nous écrirons
Pour ramener cet élément linéaire à la forme harmonique, effectuons le changement de variables
f dx , dy
Gomme ici X et Y sont deux constantes assujetties à la seule condition
nous aurons, p étant une indéterminée,
cos2a — £sin2a cos2a -i- isinaa ^ '
d'où résulte
x=zp{cosoL — is\n(x)x', /=:p(cosa -h isina)y\
L'élément linéaire devient alors
G'esl la seconde forme dégénérée du type (m).
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l49
Solutions où X 6t Y sont des exponentielles.
4. L'équation fondamentale (F), quand on y met pour X et Y les exponentielles
prend la forme
/ désignant toujours la somme a? -h/. C'est une équation de Riccati
que nous avons à intégrer sans particulariser la constante r. Nous poserons r= <Tt, ce qui donne à l'équation cette forme nouvelle, d'aspect réel,
T' + T*-f-(3(7 — 2)TcOt(7^ — ((T — l)(2(T — l)=lO.
Pour intégrer, faisons le changement de variable
/♦ >tf
col — > dl^= —
l'équation devient
(7 Z^-hl'
- 1 ^ dr
z az
et l'on vérifie aisément qu'elle admet la solution particulière
quelle que soit la valeur attribuée au paramètre a. Posons donc
la nouvelle fonction inconnue ^ sera déterminée par l'équation linéaire
Intégrons d'abord l'équation
l5o L. RAFFY.
on trouve aisément, en désignant par M la constante arbitraire,
Pour que cette valeur vérifie l'équation (î^), il faut que M, consi dérée comme fonction de s, ait pour dérivée
dz a
ce qui conduit à distinguer deux cas, suivant que a est égal à i ou différent de I.
Traitons d'abord le cas particulier a = i . En désignant par 2 logy la constante d'intégration, nous aurons
M^alogy — 2log5 = 2log^, Ç=-^l^ log^;
et, comme actuellement T^ se réduit à zéro, l'intégrale générale de l'équation (p) sera
z log \ sin t log i y tang - j
Il n'y a plus qu'à effectuer la quadrature
ds
/T.,=-./Tj^=y-
= log log- 4- const.
log -- y
pour arriver à l'élément linéaire
ds^ = Ce-'(*-r) log( y tang ^"^-M dcc dy.
Soit maintenant a ^^ i . Il est commode de poser - = n et l'on trouve immédiatement
ce qui donne pour intégrale générale de l'équation (p)
n (/i — 2)c — /is""*
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l5l
Exprimons Tau moyen de t, en ayant égard à la relation 5 = cot -;
nous aurons
coi"-'-
col
n sm* - col'*"* c
Si l'on fait (n — 2)0 = ny, il vient par une intégration immédiate
/ T^/ = logsin'*-*- -+-log( col'*"' yj -h consl. = log( asin'*-* jScos""' - J
Remplaçant enfin n — 2 par m, nous arrivons à l'élément linéaire
ds^ =r e-'i'-r) (a sin'" ^-±Z S cos"' '^"^•^ 1 1/^ e/v,
qui dépend de trois constantes arbitraires a« ^, m.
5. Il nous reste à mettre sous forme harmonique les deux éléments linéaires que nous venons de trouver. A cet efîet, nous poserons
, /• 21 dx -,^zi / r 21 dy „,..,
d'où Ton déduit facilement
e-^^^-y^dxdy—^ — =f-^ {x'y')^ d.i'dy'
et aussi
SUl — = — . L-, > cos ^ =: -=f— .
m 4- 2 2i Jjr'y
ni -\- 2 2 »/ r' \''
Substituant ces valeurs dans l'élément linéaire
ds^ — (oc sin"» fjtZ 3 cos"* ^"^^ ^ e-^^'-y^ dx dy, \ ni-h 2 ^ m -h 2/
on trouve, en désignant par a et 6 deux nouvelles constantes arbi traires,
^5'= [rt f ^'^y y^ i,f^ i^JZJLY' 1 dx'dy= (a/^"»~ 6^^"») {du^-h dv^)
C'est Télément linéaire du type général (m) signalé au début.
l52 L. RAFFY.
Les mêmes transformations conviennent a l'élément linéaire trouvé tout à l'heure
ds^=: Ce"'^*-y> log( y lang^ — ^j dxdy
= C flog (a cos ^-~^) - log ((3 sin ^^^)1 e-'^'-r) dx dy,
sous la seule condition de faire m = o; on trouve ainsi ds''-c\\o^ '^^'^'^^''^ -\o^ ^^'^'~^^
C'est la première forme dégénérée du type {m).
Résumons dans un Tableau les premiers résultats que nous venons d'obtenir :
T = - cot2a -h ^ log(e*^^^ — e~*^^^),
^insinMog^ytang^j,
ef5« = C e-i^^-y) log /^y tang ^^^t^^ rf^r dT/
= C'[log(x'-+-/)~log(x'-/) + /]e/a;'^/.
T = cet h
sin
- y' tanff'" )
{m) { X = Ae"*-^S Y=:Ae "'-^2-
cf5* =: e-'(*-r) (^a sin"» ^-^^ - 6 cos"» 5 "t^ ) ^^ ^v^
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. t53
Élément linéaire des spirales applicables sur des surfaces
de révolution.
6. En vue de simplifier une discussion à venir et de détacher un résultat intéressant par lui-même, nous allons déterminer les éléments linéaires qui conviennent à la fois à des spirales et à des surfaces de révolution.
Il est clair que, si Ton fait soit a = o, soit é — o dans le type {m) signalé au début, on trouve un élément linéaire
qui répond à la question. Nous allons montrer que c'est le seul ('). Pour qu'un élément linéaire é^dxdy soit réductible à la forme
qui convient aux spirales, il faut et il suffit qu'après un changement de variables approprié
, dx' , dy'
on ait identiquement
w -+- log| 4- logY) =z^ i(x—y) -h fT{x-^y)d{x-{'y),
Pour éliminer la fonction inconnue T, différentions par rapport à a? et h y; nous aurons
d'où, en retranchant membre à membre,
Si l'élément linéaire e'^^ûfe'rf/ convient à une surface de révolution,
(*) [L. Rafpy, Sur la déformation des surfaces spirales {BulL de la Soc, mat/iém. de- France, t. XIX, p. 65; 1891)].
Ann,de l'Éc, Normale, 3*Série. Tome XII.— Mai 1895. 20
l54 L. RAFFY.
on peut faire
L'équation du problème devient alors
(i) (^ — Tn)9'4-^'-f-rî'-f-2/ = o.
Égalons a zéro la dérivée seconde du premier membre prise par rapport à a?' et à y ; nous trouvons
Or la dérivée 9" doit êlre supposée différente de zéro si Ton exclut les surfaces développables. On peut alors tirer ^' — y)' de l'équation (2) et porter sa valeur dans Téquation (1), ce qui donne
En conséquence, la différence Ç — yj ne dépend que de x' + y. Il suit de là que les dérivées Ç' et r{ sont deux constantes égales et de signes contraires
Intégrant et négligeant les constantes additives, nous avons
