nix'f ri = — ni y

L'équation (i) devient alors

On en déduit immédiatement co = mlog(^'-i-y), d'où l'élément linéaire cherché

Par le changement de variables

dx =

dx' — 2 dx' — dy' 2 d\'

nix'

■ ^ dy :^ii ^^ HZ '■ >

( m -h 2 ) ix' "^ ni y' ( w 4- 2 ) iy'

il acquiert la forme propre aux spirales

ds^= C'e-'<'-^J cos'« "^-±Z dx dy.

De là résulte pour la fonction T cette expression

T = lang

Remarquons enfin que Télément linéaire précédent n'est doublement harmonique que quand on suppose m = i. Car les deux formules que nous avons données dans la seconde Partie de ces Recherches (* )

pour représenter Télément linéaire \dxdy des surfaces de révolution doublement harmoniques, ne conduisent à X = C/^" que quand m — i ou m = — 2, hypothèse actuellement exclue parce que les surfaces correspondantes ont leur courbure totale constante et qu'il ne peut en être ainsi des spirales sans qu'elles se réduisent à des développables. ( Voir le paragraphe suivant.)