CHAPITRE IL
1. Nous nous proposons maintenant de trouver toutes les solutions de l'équation fondamentale
(I) F:i:i2X(a);.+ w^')-2Y(w;,-f-co;«)4-3X'&3:,-3Y'o3;.4-X''-Y''=o,
en attribuant à la fonction co la forme qui convient aux spirales
A cette équation nous adjoindrons l'équation dérivée F^^= o, savoir
(») [L. R\PFY, Sur un problème de la théorie des surfaces ( Comptes rendus de l* Académie des Sciences, t. CVIÏl; 1889, p. 493, et aussi Bulletin des Sciences mathématiques, t. Xllf.; 1889, p. 161)].
l56 L. RAFFY.
qui ne se réduit à une identité que dans le cas des surfaces développables (w^^= o).
En éliminant X"— Y" entre les équations (I) et (II), on obtient une relation que nous pouvons écrire ainsi
en posant, pour abréger,
— a ri»* />— w — o/»0
ce qui conduit pour les spirales à cette expression de
e = i{jc —y) -f- Xo^T—fl dt.
L'équation (III) ne se réduit visiblement à une identité que quand 6 = const., c'est-à-dire pour les surfaces à courbure totale constante. Or, d'après la formule
Kl K,
'xy
la courbure totale d'une spirale, étant le produit d'une fonction de X -{- y par l'exponentielle e'^^~^\ ne peut être constante que si elle se réduit à zéro. Ainsi se trouve justifiée une assertion émise à la fin du paragraphe précédent. Laissant de côté les développables, nous pourrons désormais considérer l'équation (III) comme n'étant pas une identité.
Si on la différentie par rapport à j? et à j^, on obtient deux relations qui font connaître, l'une X", l'autre Y", et, portant ces valeurs dans l'équation (I), on arrive à un résultat qu'on peut écrire
X[^ 4- ^ - 2(0)!,.+ eu:,»)] - y[?^ + 1^ 2(CO;.+ 03-)]
en posant
SUR LES SPIRALES nARMONIQUES. l57
J'ai démontré (*) que le déterminant des inconnues X' et Y' dans le système formé par les équations (III) et (IV) ne se réduit à zéro que pour les surfaces applicables sur les surfaces de révolution. Comme nous venons de trouver l'élément linéaire de toutes les spirales de cette espèce, nous pouvons désormais supposer ce déterminant différent de zéro et tirer du système considéré les expressions de X' et Y', qui seront des fonctions linéaires et homogènes de X et de Y.
Les deux équations (III) et (IV) et, par suite, les formules de résolution seraient extrêmement longues à écrire, malgré la forme relativement simple de o) dans le cas présent, et leurs coefficients dépendraient de la fonction inconnue T et de ses dérivées. Mais nous allons pouvoir déterminer a priori ces coefficients. Remarquons, en effet, que les coefficients de X, Y, X', Y', X". Y" dans l'équation (I) ne dépendent que de la seule variable t=x^y. En conséquence, les coefficients de X, Y, X', Y' dans les équations (III) et (IV), déduites de la première par de simples différentiations, ne dépendent que de cette même variable. Nous avons donc à résoudre ces deux équations
où figurent quatre fonctions inconnues T, de la variable t=^x-\-y, outre les deux fonctions X et Y, qui ne dépendent, l'une que de x, l'autre que de y.
Résolution des deux équations fonctionnelles.
2. Soit à résoudre les deux équations différentielles indéterminées
Différenlions la première par rapport à j, la seconde par rapport à x\ il vient
t; X -+- t; y -h t, y'= o, t;x -+- t; y 4- TjX'zh o.
(*) [L. Rafpy, Sur les spirales harmoniques (Comptes rendus de l'Académie des Sciences f t. CXn; 1891, p. 5 18). Sur une classe de surfaces harmoniques {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. GXII; 1891, p. 424)].
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OU, en remplaçant X' et Y' par leurs expressions données,
Si ces deux relations ne sont pas des identités, on en tirera
ce qui entraine, comme on sait,
A, B, r désignant trois constantes dont la dernière peut être nulle. Les équations de départ deviennent alors
A r = ATi -h TiTte-''^'^y\ — B /• n: AT^e^-^'^r) ^ BT4,
et l'on peut choisir arbitrairement Tune des fonctions qui figurent dans chacune d'elles.
Nous n'avons pas à revenir sur la solution
X — Xe'-', Y = Be-'"r,
qui a été déjà discutée (Chapitre I, n"' 3, 4 et 5).
Supposons maintenant que les relations (2) soient des identités; on aura
Les deux relations extrêmes donnent
Soient donc, en introduisant une fonction auxiliaire t', ii) T,=: — t'4-c, T^ — — T'—Cy c = const.
Les équations (3) donnent
On en tire, en intégrant,
Si Tune des fonctions T, et T3 était nulle» il suffirait, dans ce qui va suivre, de faire b^= o ou b^ = o; si les deux fonctions étaient nulles, on supposerait nulles les deux constantes d'intégration b.^ et b^.
Substituons les expressions (4) et (5) dans les équations (i): il vient
(1') X'-h (t'- c)X = ^ Ye^-^^ T-¥ (t'-+- c)Y z=z b.Xe'^-^'.
Appliquons à ces formules la différentiation
ÔJc ôy
pour laquelle / doit être considéré comme constant; nous aurons
(6) X''-+-(T'-c)X'=-ô,Y'eT-^^S Y"^-(T'-+-c)Y'=3-6,X'e^-^^
Des quatre équations (i') et (6) on déduit
( X'Y'-+-YX''-i-(t'-c)(XY'4-YX')=io, I X'Y'-+-XY''-h(T'-+-c)(XY'-f-YX')=o,
d'où, en ajoutant membre à membre,
X Y" -I- 2 X' Y' -+- YX'' -4- 2 t' ( X Y' -^ YX' ) = o„
OU encore
(^-f-^,)(XV+YX0 + 2T'(XY'H-YX'):zzo;
de sorte que, quand XY' -h YX' ne sera pas nul, on aura
(8) ,' = l(^ + |),og(XY'-.YX').
formule qui fera connaître t' et, par suite, les fonctions T<, T., T,, T^, dès que X et Y^ seront connus.
D'autre part, en retranchant membre à membre les équations (7),
on obtient
XY"- YX"-f- 2c-(XY'-h YX') =0,
ce qui peut s écrire
X^-2cX^ Y"H-2cY^ X ^ Y
l6o L. RAFFY.
Les deux membres, ayant même valeur, sont nécessairement constants. Soit — y leur valeur commune. Nous avons, pour déterminer X et Y, ces deux équations
(9) \"—2c\'-\-y\ = o, Y''H-2cY'H-yY = o;
d'où deux cas à distinguer, suivant que y est égal à c^ ou différent de c^. 3. Premier cas : yz=c^. — L'intégration des équations (9) donne
(10) Xi=(A^H-a)e'^^ Y=^(B/-+-(3)e-'^J^,
avec les dégénérescences possibles provenant de l'évanouissement de l'une ou de plusieurs des constantes arbitraires A, B, a, [3, c. Portant ces valeurs de X et Y dans la formule (8), on trouve
AB
AB^-4-A;3-hBa
d'où, en désignant par [x une constante d'intégration,
AB^H-Aj3-HBa
Les formules (4) et (5) donnent alors
.V rp A B AB
^''^ ^»-AB^4-A(3 + Ba"^^' ^*- AB^ ^ A(3 + Ba "" "'^
K^2) '*- AB^ + A;3 + Ba' ^'~ AB^ ^ A(3 + Ba*
Il n'y a plus qu'à substituer les expressions (10), (i i) et (1 2) dans les équations (i), qui sont vérifiées identiquement, pourvu qu'on prenne
Nous avons ainsi, pour les équations proposées, un système de solutions correspondant au cas où les équations caractéristiques des équa-
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l6l
tions (9) ont une racine double, savoir
X = (Aa? 4- a)e^*, Y = (By -h (3)e-^r,
AB B^e-""^
(I) I '^*~ AB^-+-A(3-hBa"^^' ^'~ AB^-4- A(3 -4- Ba'
^'"^ AB/ + A(3 + Ba' ^^"^ AB^ 4- A(3 -+- Ba ~" ^•
4. Second cas : y — c^^o. — Pour intégrer les équations (9), nous poserons
de sorte que les racines des équations caractéristiques seront 2r et 2A pour X, — 2r et — 2A pour Y. Nous aurons alors
( 1 3 ) X = Ze»'-^ 4- A e^^^, Y = me-^'-y 4- B e-**^,
avec les dégénérescences possibles provenant de Tévanouissement de l'une ou de plusieurs des constantes A, B, /, w, r, h. Nous excluons toutefois les hypothèses l=m = oouA = B = o, qui ramèneraient à une solution déjà étudiée, ainsi que les hypothèses A = / = o ou B = /w = o, qui donneraient pour X ou Y la valeur inacceptable zéro. Des intégrales (i3) on déduit aisément
XY'4- YX'= 2(r — /O (B /e«'-*-«'*r Ame*'**-*''^)
— 2(r — A)e(''-*-'''f*-J')(B/ef''-^J(*-»-y) — Ame-f'"-'')(^-*-r)),
d'où, en vertu de la formule (8),
L'intégration introduit une nouvelle constante arbitraire pi et donne
Les formules (4) et (5) deviennent alors, c étant remplacé parr4-A,
(i4) 1,-2 g/^(;-/or Ame-('-'*^' ' *""^ B/e^'*-^*^'— Ame-t'-'*)^ '
^»». de VÈc. Normale. 3* Série. Tome XII. — Mai 1895. 2 1
l62 L. RAFFY.
Substituons les expressions(i3), (i4)et(i5) dans les équations(i); pour qu'elles soient vérifiées identiquement, il faut et il suffit qu'on prenne
Nous avons, en conséquence, ce nouveau système de solutions des équations (i)
X = le^^^ + A e^^'^y Y = mc^*'*^ + B e-^^y,
(II) ( *~ B/eC-'»'' — Ame-('-^*"' ' ^~ B/e"-^*^'— A/ne-t'-'*)'
Il nous reste à rechercher si les solutions (I)et(II) conviennent ou ne conviennent pas à notre problème.
5. Nous allons substituer ces solutions dans l'équation de départ
(I) 2(3r 2/T)X-2(& + 2tT)Y-4-3(T-0X'-3(T + 0Y'-+-X'-Y^ = o,
où nous faisons, pour abréger.
Qu'il s'agisse de la solution (I) ou de la solution (II), nous pouvons toujours écrire
sauf à faire ensuite 2.r = 2h = c, s'il s'agit de la solution (I). Ces valeurs, portées dans l'équation (i), la transforment en cette autre
(22r-4rA-4^T)X-(2&-4/'/^^-4ïT)Y
Remplaçons maintenant X' et Y' par leurs expressions trouvées
X'= T,X 4- T, Y, Y'r= TjX H- T4 Y;
nous obtiendrons
J2&-4^'A — 4tT+[3T-+-(2r4-2/i — 30]T,— [3T — (2r4-2/i-30]T,jX = {2&-4r/i4-4«T-[3T-h(2r-^2/i-30]T,-f-[3T-(2r-f-2A-30]T4JY.
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l63
On voit que, si le coefficient de X et celui de Y n'étaient pas nuls tous les deux, le rapport Y :X serait une fonction de ^H- j, ce qui exigerait que l'on eût
CL, p, n étant trois constantes dont la dernière seule pourrait être nulle. Mais ces solutions ont déjà été discutées. Donc nous devons égalera zéro le coefficient de X et celui de Y; d'où les deux équations
2^-4/'^ =[4«-f-3(T,-T,)]T-(2r-+-2A-30(T3 4-T,), -(2&--4r/0=^[4«H-3(T4-TO]T-(2r + 2A-30(T4+T,).
En les combinant par addition et soustraction, on les remplace par les deux suivantes
(T) [8i~3(T,H-T,-T8-T4)]Tr=:(2r-f-2A~30(T,4-T,H-T3+T4),
|2(22r — ^rh) = 4(T'4-T*— 2rA — i) = -3{T,-T,— T,-hT4)T-(2r + 2A-30(T,-T,-+-T,-T4).
Telles sont les deux équations dans lesquelles nous allons maintenant substituer les deux systèmes de solutions à essayer.
Discussion du système (I).
