Dans les équations (T) et (&) faisons

r-, AB ^ A'^*'"' ^ B*e-»'-' ^ AB

A=iAB^-+-A(3-hBa,

et rappelons-nous les valeurs correspondantes de X et Y,

Comme A et B ne sont pas nuls tous les deux (cas déjà étudié), le dénominateur à est différent de zéro. La substitution indiquée conduit

l64 L. RAFFY.

aux deux relations (Ti) [4(2« — 3r)A — SCAc'-'H- Be"^') (Ae'*'- Be-'-')]T = (4r — 30 (Ae'-'-f- Be-'^OS

^ '' \ ^SCAe»-'— Be-''0*T~(4r-3O[4/-A~(Ae'-' + Be-'-')(Ae'''-.Ber-«)],

que Ton peut écrire

4(2e-3r)AT = (Ae''-+- Be-'O [3(Ae'-'— Be-'-^T -h (4r — 30 (Ae'-'H- Be-»-')],

^CAe»-^— Be-'-0[3(Ae'-'— Be-'-0T-h(4r — 30(Ae'-'-f Be-'-O].

On en déduit, en éliminant la grande parenthèse qui figure dans les seconds membres,

C'est une équation de Riccati qui doit être vérifiée par la fonction

(4r~30(Ag^^ + Be-^0' ^ ^ ~ 4(2f~3r)A — 3(A«e«''-B«e-*'')*

tirée de l'équation (T^).

Je dis d'abord qu'on ne peut pas supposer r=o. En effet, dans cette hypothèse, l'équation (R) devient

elle donne pour T une fonction périodique de /,

T = « ^ - V^^*-i t a n g v/^*-i ( ^ - ^o ) , tandis que l'expression de T devrait être rationnelle