A-3(A'-B') ^ A = AB^ + A(3 + B
La période ne deviendrait infinie que dans l'hypothèse ^= i, qui
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l65
revient à AB = o; mais alors T se réduirait à une constante, solution exclue comme conduisant à des surfaces développables.
Supposant donc désormais r différent de zéro, nous pouvons, si le produit AB n'est pas nul, remplacer t par t h- /q» la constante i^ étant choisie telle que B devienne égal à — A. De la sorte notre équation de Riccati sera
Or, si nous faisons r= a/, nous arriverons à Téquation
T'4-T*-+-(3(J — 2)T coiffa— ((J — l)(2(T — l)z=0,
dont l'intégrale générale a été trouvée précédemment (Chap. I, n° 4). Quand q est égal à l'unité, on a
sm
in^logf y tang- j
fonction multiforme et périodique, tandis que T est uniforme et non périodique, en vertu de la formule (i6).
Dans l'hypothèse œ — i ^zé o, nous avons trouvé
T=:(l — CT)C0t— 4-
t (Ttl / ^ Gt\ * <^ I
- cos —le col — I
sm — cos —
fonction périodique, tandis que T ne l'est pas, puisque AB est différent de zéro.
Soit maintenant AB = o. Nous supposerons B = o. L'équation (R) devient
T'4- T«- (2 — 3a) iT — ((7 — i) (2(T — i) = o.
On en déduit, par intégration,
2Tz=(2-3cr)f-crtang ^^^~^^^
ce qui est une fonction périodique, de période 2'ir:(7, tandis que la
l66 L. RAFFY.
formule (i6) donne
4(2 — 3<7)iAp — 3 A^e**'''*
fonction dont la période est itra. Il y a contradiction.
Donc, en résumé, la solution (i) ne convient dans aucun cas, en dehors des deux hypothèses déjà étudiées où A = B = o, avec r = o ou r^o.
Discussion du système (II). 7. Reprenons les équations (T) et (â)
pour y substituer les expressions qui composent le système (II), savoir :
(II) I AT4=-2B/Aet'-^^'-H2A/nre-('-'*)', AT^^— 2Bjw(r — A)e-<'--»-'^)',
A = B/e( '•-'»)/ Ame-''--'^)'.
La quantité r— A est essentiellement différente de zéro; les valeurs correspondantes de X et Y sont
X = le^'-' -H A c«^', Y = me-*''y -+- B e-*^r,
et nous rappelons qu'on ne peut faire aucune des quatre hypothèses
lz=.m=:o, A = B^o, /=A = o, /n=:Bi=o,
en sorte que la fonction A ne peut se réduire à zéro.
Cela posé, substituons les solutions (II) dans les équations (T) et(&); nous trouvons ainsi
( [(4f — 3r— 3/i)(B/e(''-^'^'— Ame-<''-'')')-+-3(r — /i)(A/e^'-^'^)'— Bme-<'-»-*)')]T ^'^'^ I — (/• — A)(2r-i-2/i — 30(B/eî'*-'*J' + A/ne-('*-'*)'--A/e('--^''5'--Bme--<''-^'*)') = o,
( 2A(T'4-T*---2/-A--i)H-3(r--/z)(B/e(''-'*^'H-A;we-î'--'*)'+A/e('--*^>'4-B/ne-<'--^'')0T (^«^ ' ■ (,-4./,)(2rH-2A — 30A+(r— /i)(2r-h2/ï — 30(A/e('-^A>'— B/ne-^'--^'^)') — o.
En vue de faciliter la discussion de ces deux équations, nous énoncerons un lemme dont nous aurons plusieurs fois à faire usage.
Lemme. — Pour que V expression
2(MieV-HM;e-«.0,
où les M/, M^ sont des coefficients constants en nombre fini et les a,- des constantes différentes de zéro et différentes les unes des autres, soit nulle quelque valeur qvLon attribue à la variable t, il faut et il suffit que les coefficients M/, M^. soient tous nuls.
On s'en assure en développant chaque exponentielle en série et annulant les coefficients des puissances de t jusqu'à /*""* inclusivement. On obtient ainsi, d'une part, n équations linéaires et homogènes par rapport aux n sommes M, -4- M^ , d'autre part, n équations linéaires et homogènes par rapport aux n différences M/ — M,' . Le déterminant du premier système est le déterminant de Van der Monde
Celui du second système est égal au précédent multiplié par
CL, Cl^ • • ■ (Zf > . • Ofi»
D'après les hypothèses de l'énoncé, ces deux déterminants sont différents de zéro. On a donc
M<-i-MI=o, M/ — MJrzo {i=zi, 2y . . .y n),
ce qui prouve que les coefficients M/, M^ sont tous nuls. D'ailleurs ces conditions sont évidemment suffisantes.
8. Revenons aux équations (T^) et (&î). Nous devons avant tout rechercher si la première ne peut pas se réduire à une identité. En égalant à zéro le coefficient de T et le terme indépendant, nous obtenons deux équations, dont la première est
l68 L. RAFFY.
et dont la seconde peut s'écrire
(2r 4- 2 A — 30 (/e'-'— me-'-') (Ae'*'— Be"'") — o.
De ces trois facteurs, les deux derniers ne peuvent être identiquement nuls, ce qui entraînerait, d'après le lemme, Tune des hypothèses exclues
Il faut donc supposer 2r-h 2.h — 3i = o, Il en résulte que r-hh n*est pas nul, non plus que r — h. Le premier membre de l'identité précédente est une somme de quatre exponentielles, auxquelles le lemme s'applique, si tous les exposants sont inégaux, c'est-à-dire si le produit rh est différent de zéro. Alors les coefficients de toutes les exponentielles sont nuls; on a donc
B/ = Am = A/=:Bmrro,
ce qui entraîne l'une des quatre hypothèses exclues
/=:m=:0, A==:B:==0, /iziA=0, m^rB^O.
Ainsi nous devons supposer rh = o, A raison de la symétrie des formules, il suffit de supposer A = o ; alors r = —, et il vient
/(gA — B)e« -hmCgB— A)e » i=o;
d'où résulte
/(gA — B) =0, '^(qB — A) = 0.
Comme / et m ne sont pas nuls tous les deux, non plus que A et B, il faut supposer nuls l'un des paramètres / et m, ainsi que le coefficient de l'autre. Soit par exemple m = o; il en résulte B = 9 A. Nos hypothèses actuelles
A = o, m=zo, B = 9A donnent pour X et Y ces expressions
Quanta la fonction!, elle est déterminée par l'équation (^a), qui
se réduit ici à
Intégrant et négligeant la constante qui s'ajouterait à /, on trouve
Pour avoir l'élément linéaire correspondant, il n'y a plus qu'à effectuer la quadrature
Tdt=z— y{t— to) -hlogcos-7-
d'oii l'on conclut
ds* = e-/(ar-r) e/Trf^^^ dy = Ce-'{*-y) e * ^* "^"^^ cos ^S^^ll dx dy.
Si l'on prenait /= o avec A = 9B, il suffirait de changera? en — y et y en -- x pour retrouver la même solution.
L'élément linéaire précédent est donc le seul qui corresponde k l'hypothèse où l'équation (Ta) se réduit à une identité. Il ne convient qu'à des spirales imaginaires.
Nous allons le ramener à la forme harmonique, en eff'ectuant le changement de variables habituel
dx dv
dx' •=. y dv' ^= — •
Nous pouvons ici, sans restreindre la généralité, prendre
ce qui revient à garder la variable j^ et à remplacer x par l'intégrale x' de l'équation
dx'r- ^^
Or on tire aisément de là
x' le-^ix = — cos* — • ^ 2
/inn. de l' Êc, Normale. 3* Série. Tome XII. — Jcis iSgS. 2 2
170 L. RAFFY.
. Substituant cette expression de x dans l'élément linéaire et désignant par Y une constante proportionnelle à V?, on trouve
ds^
[■ JT'-hy __ . X'— Y "I
Il résulte du lemme énoncé page 147 que Télément linéaire considéré est doublement harmonique.
Dans le calcul précédent, on suppose essentiellement que / ne soit pas nul, comme on doit le faire, puisque nous excluons actuellement {voirn*" 7) l'hypothèse /= m = o étudiée au Chapitre I. Pour voir ce qu'elle donne ici, on pourra prendre
ce qui permet de garder la variable j^ et de remplacer x par — 'iaf. On trouve ainsi cette autre forme de l'élément linéaire
e « -he^^^'-y^Jdx'dy,
qui rentre visiblement dans le type (e) déjà rencontré.
9. Nous pouvons désormais supposer que l'équation (Tj) ne se réduit pas à une identité. Nous en tirerons T, et nous substituerons son expression dans l'équation (^a), qui devra être vérifiée. Pour abréger l'écriture, nous poserons
Ai= B/e^'-'^)'-4- A /ne-t »•-'')', 8,= A /«('-»■'*)'-+- B /ne -«'-»■'*)';
et nous remarquerons la double identité
A«- Aî:= 8»- 8; = - 4AB//n.
Avec ces notations, nous tirerons de l'équation (Tj)
(T,) Tz^(r-/0(2r-,-2A-3i)^i:^S
Différentions maintenant Texpression de T; il viendra en posant
N = [(r-A)A-(/--hA)e]D-(/--A)(Ai-e,)[(4«-3r-3/i)Ai-+-3(r-f-^)e,].
Substituons! et T' dans l'équation (^2) et chassons le dénominateur D^; nous trouvons
2A[(r — yi)(ar-+-2A — 3/)N-i-(r — A)»(a/-4-2A--3i)»(A,— ei)«-(2rA-hi)D»]
-f-(2r-h2A-30D[3(r-A)«(Aî-e;) -h (r-h /i) AD -*- (r - /OBD] = 0.
Dans les termes dont la somme multiplie D àla seconde ligne, remplaçons D par sa valeur; il vient après réduction
3(r — ^)«(Aî-eî-+-e«)-+-(r-hA)(4«-3r— 3A)A«-+-4«('- — >^)Ae;
mais on a identiquement
Aî~eî4-e«=:As
comme nous venons de le remarquer. Ainsi A est facteur de tous les termes dans le groupe que nous calculons; ce groupe peut donc s'écrire
A[3(r — A)'A-h(r-hA)(4/ — 3r — 3A)AH-4*'(r-A)e];
et maintenant le facteur 2A est commun à tous les termes de l'équation (^s); comme il n'est pas nul, nous pouvons le supprimer. Par cette mise en évidence d'un facteur, nous avons notablement simplifié l'équation à discuter. Elle devient
(r — ^)(ar4-2A — 3i)N-h(r — >i)'(2r-4-2^ — 3/)«(Ai— 0i)*— (2r/i4-i)D*
-h2£(2r4-2A — 3/)[(rH-^-h3«>^)A-i-(r — /i)e]Dr=o.
Remplaçons D et N par leurs expressions déjà trouvées
N = [(r-A)A~(r-hA)e]D-(r-A)(A,-ei)[(4t-3r-3A)A,H-3(/-4-A)e,].
17^ L. RAFFY.
. Nous arrivons, tous calculs faits, à Téquation suivante :
(r - hy{9.r + 2/2-30 (^1 - ®i) [(5r H- 5/i - yO^^i — (5r -t-5/z- 30^,]
-f-[(4«— 3r~3A)A-+-3(/--/i)e](pA — p'e)=:o,
en posant, pour abréger,
p =: (/-f- /i)[2r*-4- 2/1*— lO/A-H l(/' -h h) -H 9] -h 22frA — 4'» p'zii(/- — /t)[ar*-h2A*-Hior/i — 7/(/' + A) — 3].
Il n'y a plus qu'à substituer les fonctions que représentent A, 0, A^, 0| pour obtenir le résultat définitif
10 AB [g — k{r-\-h — 1)] ( '*«''*' -^ w*e-«'0 — io/7n[^ -hA- (r -h A — 1)] (A»e''»'4- B=e-*^*') (i)< -+-[X(5/-4-5/< — 70 — p(3/- 4-3/1 — 40](B*/'e*(''-'^^'-hA»m«e-«^'-"'') -+-[A(5/--h5A- 30— 3p'(/- — /2)](A»/*e'('--^'»K-i-B«m«c-*<'-+*)') + 2AB/w[ioA^(r4-/i — + P(3/'-l-3A — 40-+-3p'(r — /e)] =0,
OÙ nous avons posé
io^ = 3(/-— A)p-+-(3r-+-3/i — 40pS /::=(/•— /0*( 2/* -h 2/z — 3i).
Telle est l'équation qui doit avoir lieu quelque soit t. Son premier membre est linéaire par rapport h huit exponentielles, sur lesquelles on ne peut faire évidemment que trois hypothèses :
i*^ Tous les exposants sont différents de zéro et différents les uns des autres;
2*" Tous les exposants sont différents de zéro, mais ne sont pas distincts;
S*" Certains exposants sont nuls.
Nous allons discuter successivement ces trois hypothèses.
10. Première hypothèse. — Tous les exposants sont différents de zéro et différents les uns des autres. Nous verrons que cette hypothèse doit être écartée. Mais les calculs que nous allons faire nous serviront dans l'étude de la deuxième hypothèse.
Pour pouvoir appliquer le lemme à l'équation (S), différentions-la par rapportai Le premier membre devient une fonction linéaire et
SUR LES SPIRALES HARMONIQUES. l'j'i
homogène des huit exponentielles. Il faut donc que leurs huit coefiîcients soient nuls. Mais ces coefficients ne différent de ceux des mêmes exponentielles dans Tidentité (S) que par des facteurs supposés différents de zéro. Donc, dans cette identité (S), les coefficients des huit exponentielles et par suite aussi le terme constant sont nuls. D'où les neuf équations suivantes :
AB/m[ioA-(/- H- A — + P(3/- -h 3A — 40 -h 3p'(/- - /O] = o, AB l*[iog— iok{r -h h — /)] =r o, \^lm[iog ■+- ioXr(/* 4- A — /)] = o, \Bm^[iog — ioX:(/' -H /i — /)] = 0, B*lm[jog -^ 10 k{r -h h — i)]^o,
B«/«[A-(5r -+- 5A - 7O — p(3/- -+- Zh - 40] = o. A*/«[/t(5/- H- 5/1 — 30 - 3p'(/- - h)] iiz o,
A« /n»[A-(5r -h 5/i — 7O — p(3r -f. 3A — 4 0] = o, B»m«[^(5/- -h oh - 30 — 3p'(/- - A)] - o.
Deux cas sont à distinguer, suivant que le produit ÂB/m est nul ou différent de zéro.
Premier cas. — Le produit AB^ est nul. Supposons soit/= o, ce qui entraîne AB/w^o d'après une remarque antérieure, soit/w = o, ce qui entraine AB/^^o. Nous trouvons ainsi trois équations entre r et A, savoir
(i) 10^ — ioA:(/--h /i — /) = o,
Pour discuter ce système, nous poserons
r -h h =zp -h I, r — h=zy.
Si l'on se rappelle les définitions de k, p, p' et g,
p=: (/--h h) [2/-' -H 2 A*— lor/i -h i{r-\- h) -Hg] -+- 'i2irh — 4/, p'r= (/• — //) [2/-* -h 2/i'-f- iorh — ']i{r-h/i) — 3], 10^= 3(r - /Op -h (3r 4- 3^^ - 40p',
174 ^' RAFFY.
on trouvera sans difficulté
Or, si l'on remplace r et A par p et y dans les équations (i),(2) et (3), en y laissant subsister p et p', il vient
(i') 3yp'i-(3p — i)p'=iop(2p — i)y\
(3') /(2;?-0(5/> + 2i)=:3yp',
Dans l'équation (3') substituons l'expression dep'. Comme y = r— A n'est pas nul, il vient simplement
Dans l'équation (2') substituons l'expression de p; il vient
Cette équation donne trois solutions :/? = «, jo = o, y^ =:= (3p — iy. La solution p — i= r-\- h = est exclue, puisque nous supposons tous les exposants différents de zéro et que 2(r 4- A) est l'un d'eux.
Faisons ^ = o; alors la formule (3'') donne Y = r — A=r=!=^.Ona
donc
d'où l'on tire deux systèmes de valeurs
Mais, quand r= 2 A, on a r—h = h et quand A = 2r, on a r — A ==: — r; dans les deux cas les exposants ne sont plus tous distincts. Donc/? ne peut être supposé nul.
Soit enfin y^=(3p — i)'^. En comparant avec la formule (3"), on trouve
