H OS

OU bien

Or 2/? — I est différent de zéro; sans quoi k et, par suite, T seraient nuls. Il reste donc

La substitution decesvaleursde/?etdeY*dan8réquation(i')donne

ce qui s'accorde avec la relation

Mais, d'après les valeurs obtenues pour p et pour y» nous avons

D'où l'on conclut

, 6« , ai

Les exposants ne seraient plus tous distincts. Ce cas doit être écarté.

Si dans les neuf équations initiales nous supposions soit B = o avec

Abn^o, soit A = o avec B^^o, nous trouverions les trois équations

10^ H- tok{r -h h — i)=iOy A-(5r-f-5A — 71) — p(3r4-3A - 40 — o, A:(5r-f-5A — 30 — 3p'(r~A) = o.

Elles ne différent des précédentes que par le changement de r en A et de h en r. Il n'y a donc pas à les discuter.

Résumons la discussion du premier cas.

Les deux systèmes qui correspondent à l'hypothèse ABlm = o n'ont d'autres solutions que les suivantes :

lo r -h A =r o. (Celle solulion sera disculée en son lieu.)

2° r->rh=Liy d ou /• r= —- avec A = ^ el r—-^ avec A =-75-,

o« f. ^'' j» V 4' 1 2* 21 , Ui

3° r -\- h=z -p-y doù rin-^ avec A=-=- el /'=-=- avec hz=i^*

176 L. RAFFY.

Deuxième cas. — Le produit KRlm est différent de zéro. Les neuf équations auxquelles équivaut l'identité (£) se réduisent à cinq, savoir

^ — A(/-i-/i — Oz=o,

\ok{r 4- A — -+- p(3r -h 3A — 4/) -h 3p'(r — h ) -^ o.

Comme k n'est pas nul, les deux premières entraînent c'esl-k-dire

r -i- h=: i, 3(r — A)p = ip'.

Les trois suivantes se réduisent alors à deux

2ik = ip^ ip =z3p'{r - h).

Rapprochons-en les deux équations trouvées d'abord

ip'=3p(/* — A), /•-h/iznl.

Retranchant membre à membre les deux équations qui contiennent r — A, on trouve

Soit d'abord 3r — 3A + / = o. Nous avons alors

/• — /i = — ^2 > r -+- A = /, d'où l'on déduit

Les exposants r — A et — r sont égaux, contrairement à notre hypothèse. On ne peut donc supposer p — p'^ o.

Soit maintenant p = p'. Il vient 3(r — A) = 1. Nous avons donc

Ces équations ne différent des précédentes que par le changement

de r en A et de h en r. Elles conduisent donc à r = 2A. D'où l'égalité des deux exposantsr — Aet A. Donc le second cas de la première hypothèse ne donne rien.

En résumé, la première hypothèse ne donne pas de solution; c'està-dire qu'on ne peut supposer tous les exposants différents de zéro et différents les uns des autres.

11. Deuxième hypothèse. — Les exposants sont tous différents de zéro, mais ne sont pas tous différents les uns des autres. Nous excluons les quatre hypothèses

Écrivons les huit quantités

r, — r, A, —hy r — h, — (/• — A), r -h h, —(/•-+- A),

et comparons chacune d'elles avec les suivantes :

Le nombre r ne peut être égalé qu'à — (r— A) ou à — (r4- A); d'où h = ± 2r.

Le nombre — r ne peut être égalé qu'à -K (r — A) ou à H- (r -h A); d'où h = ± ar.

Le nombre h ne peut être égalé qu'à -h(r—A) ou à — (r-f-A); d'où 2h = ± r.

Le nombre — A ne peut être égalé qu'à — (r — A) ou à H- (r -h A) ; d'où 2h = àz r.

Les nombres zh (r — A), ±(r-h h) ne peuvent être égalés à aucun de ceux qui les suivent.

Il n'y a donc que quatre combinaisons possibles A = dz ar, r= ± 2A. Mais, si l'on observe que les fonctions X et Y ne changent pas, non plus que le premier membre de (2), quand on change r en A, /en A, m en B, et inversement, on voit qu'il suffit de traiter les deux cas h = dz 2.r. Les équations que l'on obtient dans les deux cas corrélatifs A = 2r et r=: 2A se déduisent les unes des autres par cet échange de lettres. Les solutions du second cas se déduiront donc de celles du premier par ce même échange; de même pour les deux cas corrélatifs A = — 2r et r = — 2A.

11'. Premier cas. — Nous supposons A=2r; d'où r -- h= — r,

Afin, de l'Èc, IVormaU. 3« Série. Tome XII. — Jom 1896. 23.

178 L. RAFFY.

r-hh = 3r. N'introduisons d'abord cette hypothèse que dans les exposants des exponentielles, et laissons subsister r et A dans leurs coefficients. Il viendra pour l'identité (2)

î [A(5/- 4- 5/1 - 7O - p(3/" -h 3A - 40]A*/n«4-io[^ - A(r -h h - /) AB/»] c«

\rt

[A(5/- -h 5A - 7 /) — p(3r -h 3/i — 40]B»/» -t-io[^ A:(r -f- /i - i)\Bm^]\e

2\Blm[tok{r -+- A — 1) + p(3/' 4- 3/i — 40 "+" 3p'('' — '01 =^'

Une pareille identité exige, en vertu d'un raisonnement fait au commencement du paragraphe 10, que les coefficients de chaque exponentielle et le terme constant soient nuls.

Nous avons a discuter les sept équations suivantes :

AB/m[ioA-(/-H-A — i)4-p(3/'-h3A~40-+-3p'(r — A)] - o, lolg— k{r-\- h — i)]ABl* -h [A-(5r-f- 5^ - 70-p(3r-i- 3A — 40] A'm*^ o, ,o[- — A'(r4-/i-~0]AB/n»-h[yt(5rH-5A — 70 — p(3r-+-3A — 40]B*/' -^- o,

lm[g-hk(r-^h^i)]\^=o, [A(5r4-5A — 3/) — 3p'(/- — /i)]A»/* 3=0, /m[^4-A^(/-H-^ — 0]B* = o, [A-(5r4-5A-30-3pXr~-A)]B»m»=io.

Il faut distinguer suivant que le produit ABlm est nul ou différent de zéro.

Soit d'abord ABlm = o. En supposant soit /=o, soit m = o, on arrive aux trois équations

10^ — ioA:(r -h /i — = o, A:(5r4-5A — 7O — p(3r-f-3A — 40 = 0, A-(5/-4-5A— 30-3p'(r — /i) =0.

Ce sont les équations rencontrées dans le premier cas de la première hypothèse. On a vu qu'elles n'admettent de solutions communes que :

i^ quand r-\- h = o; 1^ quand r-i- A = e; 3*^ quand r4- A = y

Solution r-f- A = o. Elle est présentement exclue.

Solution r-\-h = i\ d'où r=2h= -^9 ce qui ne se peut ici, et

A=2r=-5-. Ces valeurs doivent vérifier nos trois équations, qui

deviennent respectivement

Or l'expression générale de g donne ici

On a donc

ce qui s'accorde avec les formules précédentes. Il suffit de calculer

pour s'assurer qu'on a bien une solution du problème en prenant r ^ - =: ^- Cette solution, étant substituée dans l'expression générale de T,

(ar-f-aA — 30(r — A)(A,-e,)

la réduit à

le signe ■+- correspondant à m = o, le signe — à / = o. La fonction T étant constante, les spirales correspondantes sont des développables; nous les écartons.

Solution r-h A= -^> d'où r= 2A= ^, ce qui ne se peut ici. Cette

solution doit être rejetée.

Soit toujours ABlm = o. Supposons maintenant soit A = o, soit B = o. Nous trouvons les mêmes équations que quand Im = o, sauf changement de r en A et de h en r. Elles n'admettent, d'après ce qui a été vu à propos de la première hypothèse, que les solutions

r -h h^rzo, r -{- n=:i, r -4- ^ = -=- .

La première est exclue. La seconde donne r=2h = '^y ce qui ne

se peut ici, et r= - = j> ce qui conduit encore à une valeur constante pour T.