CHAPITRE I

LA MÉTHODE DE L'INTÉGRALE QUADRATIQUE POUR LES ÉLÉMENTS LINÉAIRES DONNÉS SOUS LA FORME DE GAUSS.

1. Nous prendrons pour point de départ une proposition due à M. Massieu, qui est capitale dans la théorie des surfaces harmoniques et

qui peut s'énoncer ainsi (* ) :

Théorème fondamental. — Pour qu^une surface d'élément linéaire

(i) ds^^Y.du'--\-i¥dudv-Y-i^dv^

soit harmonique^ il faut et il suffit que Véquation aux dérivées partielles

dont dépend la détermination de ses géodésiques^ admette une intégrale quadratique

(3) I — A/>*4- 2^pq -h Cq'^= const.,

dont le premier membre n'ait pas de facteur linéaire ^p-h T^q commun avec le trinôme Eq^ — 2 F pq -\- Gp^. Siy pour une valeur convenable de la constante S, la forme I — SA est le carré d'une fonction linéaire de p et de qj la surface considérée est applicable sur une surface de révolution.

Cette proposition fournit, on le voit, un moyen théorique de reconnaître si un élément linéaire donné est ou n'est pas harmonique. En effet, la condition connue pour que la relation (3) soit une intégrale de l'équation (2) est que Ton ait, pour toutes les valeurs de p et de q,

du dp dp du Ov èq ôq Ov

(') Fo£> DarbolXj Leçons sur la théorie des surfaces^ t. IIJ, p. 3o à 34.

Le premier membre de cette équation est une forme binaire cubique en p et q. On égale à zéro les coefficients de /)% p^q^ pq^ et y^ ce qui fournit quatre équations linéaires aux dérivées partielles entre les trois fonctions inconnues A, B et C des deux variables u et ç et les coefficients E, F, G de l'élément linéaire. Il reste à reconnaître si ces équations admettent ou non des solutions communes.

Ce problème présente de grandes difficultés quand l'élément linéaire considéré dépend de fonctions inconnues. C'est ce qui arrive quand, s'élant donné seulement la forme analytique d'un élément linéaire, on veut déterminer les fonctions qui y entrent de manière à le rendre harmonique. Néanmoins on réussit parfois par l'emploi d'un procédé particulier que je vais indiquer (*).

2. Soit un élément linéaire donné sous la forme de Gauss l'équation aux géodésiques est ici

Soit, comme plus haut, l'intégrale quadratique cherchée

I = A/>--4- 1\\ pq -\r- C/7'=iconsi.

Formant le crochet |A, I) dont l'évanouissement exprime que I est une intégrale de l'équation A = i, on arrive à l'identité

d'où, en égalant à zéro les coefficients des quatre termes de la forme cubique,

BG', -I- CG: H- C: (i = o, A'.G -h 2 B, (;^ -^ o,

ag;,4- bg; 4- 2b: g h- c^g^ z=:o, a;,g2 =1 o.

La dernière de ces équations montre que A est une fonction de \> seulement. Nous écrirons donc désormais A' au lieu de A' , et nous mettrons les

(* ) [L. Raffv, Sur une classe de surfaces harmoniques {Comptes rendus de l'Académie des Sciences^ t. GKII, p. 4^4; 1891)].

4 L. RAFFY.

trois autres équations sous la forme suivante

(5) bg;,-h(CG): = o,

(6) ag;,-+-g*c'„+2v/g(bv/gXi=o,

(7) A'-h2GB;,= o.

A la dernière ajoutons la première multipliée par 2; il vient

A'-h2(CG);-h2(BG);,=io.

Nous avons donc, en introduisant une nouvelle fonction inconnue (ji,