A-H2CG
au
Ainsi, quand on connaîtra A et [x, les deux fonctions B et C seront explicitement déterminées. Si Ton porte les valeurs (8) et (9) de G et de B dans les équations (5) et (7), elles se réduisent l'une et l'autre à
Quant à l'équation (G), elle se transforme en celle-ci
1 OU u ^ Ov à/(;
Il suffira donc qu'on puisse trouver deux fonctions, l'une (jl dépendant de u et de i^, l'autre A dépendant seulement de p, qui vérifient le système (10) et (i i) pour que l'équation aux géodésiques
admette une intégrale quadratique. La condition est d'ailleurs nécessaire.
3. En vue des applications qui vont suivre, nous écrirons le système précédent d'une manière un peu différente. Divisons les deux membres de l'équation (10) par G et intégrons par rapport à w; en introduisant une fonction W de p seulement, nous pourrons écrire
et il viendra pour l'équation (ii)
Si la fonction G est d'une forme analytique telle qu'on puisse effectuer au moyen de symboles explicites les deux quadratures dont dépendent les deux dérivées partielles \k^ et \k[.j on n'aura plus qu'à poser
ài^ au
pour obtenir Tunique équation du problème. Cette équation ne contiendra, en dehors de la fonction G et de fonctions connues introduites par l'intégration, que trois fonctions inconnues d'une seule variable p, savoir A, W et la fonction V, qui s'ajoute comme constante au second membre de l'équation (il') intégrée par rapport à u. La question se trouvera ainsi simplifiée, puisqu'on n'aura plus à déterminer que des fonctions d'une seule variable. Dans ce qui va suivre, l'application de ce procédé conduit à la solution complète des questions proposées.
4. Remarque /. ■— Quand on sait que la fonction A est constante, on peut la supposer nulle. En effet, quand A est constant, on a
A( />--4- -^ j rz A. = const.,
en même temps que l'intégrale quadratique
A/>*+ 2Bpq-h Cç^'^ const.
Il suffit de retrancher ces équations membre à membre pour obtenir une nouvelle intégrale
2Bpq 4-(C — jr ]<7*=: const.,
où ne figure plus de terme en />*, ce qui justifie notre assertion.
Remarque IL — Quand A est constant, s'il en est de même de [x, l'intégrale quadratique disparaît. En effet, puisqu'on peut faire A = o, les équations (8) et (9) se réduisent actuellement à
Comme A est nul aussi, l'intégrale quadratique cesse d'exister.
G L. RAFFY.
