LES SURFACES HARMONIQUES A LIGNES D'ÉGALE COURBURE PARALLÈLES

1. Le procédé de calcul indiqué au Chapitre précédent va nous donner une proposition importante pour la théorie des surfaces harmoniques et qu'il semble difficile d'établir autrement.

Théorème. — Toute sur/ace harmonique dont les lignes d'égale courhure sont parallèles est applicable sur une surface de révolution.

î^'élément linéaire des surfaces dont les lignes d'égale courbure u = const . sont parallèles est de la forme

ds^ = du'' -h ^^^~,^'^' dv\

et, pour qu'il convienne à une surface de révolution, il faut et il suffit que la courbure géodésique des courbes u = const. soit indépendante de v :

c'est-à-dire que la fonction V doit se réduire à une constante. 11 n'y a d'(*xception que si la courbure totale de la surface est invariable, cas que notre analyse nous fournira. Or, pour que l'élément linéaire

(0 ds^ = dir- 4- G dv^

soit réductible à la forme harmonique, il faut et il suffit (Chapitre I, n° 3) qu'on puisse, en- choisissant convenablement les deux fonctions A et W de la seule variable v^ satisfaire aux deux équations

2. Dans le cas présent, nous nous donnons on peut alors efFectuer la quadrature indiquée, et il vient

('•) j,, - u, 1^>^ - -[rrv j - ^^ u' * u' '

d'où l'on déduit par différentiation Quant à la formule (3), elle devient

L'intégration est immédiate; elle introduit une nouvelle fonction inconnue V, de P' :

Nous avons donc la valeur explicite de [jl^ (ci) (?«-^' U' U' ^ U' ^^'

ce qui nous fournit une nouvelle expression de la dérivée seconde

La seule condition d'existence de la fonction auxiliaire [jl et, par suite, de l'intégrale quadratique est donc l'identité des deux expressions (5) et (6). On est ainsi conduit à l'équation indéterminée

(7) (WU"-f-V;U')(U-V)«-[2WU''-hA'U''-4-2U'(ViV'4- W)](U-V)

Telle est l'équation qu'il s'agit de traiter. Il j figure quatre fonctions

8 L. RAFFY.

inconnues de c, savoir A, V, Wet V, et une seule fonction U de u. Comme celte fonction ne peut se réduire à une constante, nous la prendrons pour nouvelle variable et nous poserons

au

Tacccnt désignant maintenant la dérivée de U< par rapport à U. On peut supprimer le facteur U, commun à tous les termes, et faire pour abréger

(8) V,=:::2V'W'-+-(V'Wy-^-A^ V,= 2 ( V, V 4- W").

ICnlin, effectuons et groupons les termes de manière que chacun d'eux soit le produit d'une fonction de p par une fonction de u\ nous arrivons à cette nouvelle forme de l'équation proposée

(9) \v(u«u;-2Uu,)-(2VW-+-A')uu;-f-(vwH-A')Vu;H-2(Vw+2A')u,