v; u*- (2 vv; + ¥3)0 ^ (V?v; + vv,-+- v
3. Nous allons prouver que, si l'on exclut l'hypothèse V = consL qui donne les surfaces à courbure variable applicables sur les surfaces de révolution, cette équation (9) n'admet pas d'autres solutions que celles qui correspondent aux surfaces à courbure totale constante. A cet effet, cherchons la forme la plus générale de l'élément linéaire
(|ui correspond à une courbure totale constante. On sait qu'avec l'élément linéaire (î) la courbure totale a pour expression
I d^lVi - U, J /^ t^A [T - 1^
v/G ^"' " \/Vi d\}\' dV] J '^ du
Si dans cette formule nous faisons
V (ji =: — — 9
nous trouvons par un calcul facile
Nous devons donc avoir, en effectuant le second membre,
2UiU;-U;«=:const.
Il sufGt de différentier cette relation pour trouver U"'= o; c'est-à-dire que U< ou U' est un trinôme du second degré en U. Les surfaces à courbure constante sont donc caractérisées par U'J'=o; la fonction V reste arbitraire.
Revenons maintenant à l'équation (9). On voit immédiatement que, quand on prend pour U^ un trinôme du second degré en U, elle se réduit à
LU«-f-MU-+-N=:o,
L, M, N étant trois fonctions de v. On devra donc, pour la vérilier, poser
L=zO, M=::0, N=:0,
ce qui fora trois équations seulement entre les quatre fonctions V, A', W et V^. On pourra donc se donner arbitrairement la première et déterminer les trois autres. A raison des constantes que l'intégration introduit, il y aura une infinité d'intégrales quadratiques; en effet, l'élément linéaire des surfaces à courbure constante est réductible d'une infinité de manières à la forme harmonique.
4. Il nous reste à prouver que l'équation (9) n'admet aucune solution quand on suppose Vii^j^o et U'^'i^i^o. Pour cela, nous différentions son premier membre trois fois successivement par rapport à U, ce qui donne
(10) W(u»u;-2uu,y^
-('2Vw-+-A')(uu;r4-v(vw4-A')u';-+-2(vw-4-2A')ii;'=o.
Afin de pouvoir diviser tous les termes par WU^', montrons que W doit être supposé différent de zéro. En effet, quand W = o, l'équation (10) se réduit à
A'(vu;vu7-uu7)=:o.
Donc la parenthèse est nulle, ou bien A' est nul. Pour que la parenthèse soit nulle, V n'étant pas constant, il faut supposer Uj'= o, ce qui ramène aux surfaces à courbure constante.
D'autre part, je dis que A' n'est pas nul. Car, si A' est nul en même temps que W, l'équation (2) donne u'^ = o ; la dérivée seconde [jl*^, est donc R. 2
lO L. RAFFY.
nulle aussi, en sorte que l'équation (6) devient
ce qui entraîne V'^ = o et, puisque V' n'est pas nul, V, = o. Mais on a vu que A peut être supposé nul quand il est constant! Alors l'équation (3') donne (i,^= o. Ainsi les deux dérivées de (x sont nulles; (x se réduit à une constante, et il n'y a plus d'intégrale quadratique (Chap. I, n®4). Donc, en résumé, W n'est pas nul.
5. Nous pouvons en conséquence diviser l'équation (lo) par le produit WU'J'. Ensuite nous égalerons à zéro la dérivée seconde de son premier membre prise par rapport à U et k p, ce qui donnera
Je vais prouver qu'on ne peut supposer nulle ni la fonction de U qui figure au second membre, ni la fonction de p qui figure au premier. Posons en effet
o~u: dQ
L'équation (i i) deviendra
Si nous supposons
elle se réduit à
2 V -h ^i^ = const. = /n,
ce qui montre que Q est une constante.
D'autre part, en effectuant les calculs dans l'équation (lo) et divisant par WU", on trouve
(10') QU«4-4U~(2V+^)(QU4-3)-h(v«+V^)q + 2(^V4-2^)=o, relation impossible, car son premier membre est un trinôme du second
degré en U qui ne peut s'évanouir que si ses trois coefficients sont nuls; donc d'abord il faudrait prendre Q = o; mais alors le terme en U a pour coefficient 4 et ne peut disparaître. Ainsi, on ne peut pas faire l'hypothèse
On ne peut pas non plus supposer Q'= o. Car, en vertu de l'équation (i i'), cette hypothèse entraîne soit la précédente, qui vient d'être exclue, soit l'hypothèse Q = o, incompatible avec l'équation (lo').
6. Les deux fonctions que nous venons de considérer étant difl'érentes de zéro, nous pouvons diviser les deux membres de l'équation (i i') par leur produit, ce qui donne
