X (QU) X

(i2) rx, = -. rrry = consl. = «.

De là on déduit, en intégrant et désignant par a elb deux nouvelles constantes arbitraires,

ou encore

Substituons ces valeurs de Q et de A';W dans l'équation (lo'); nous trouvons

a T^ h 4U-4-(a — i) TT — 2(a-4-2) V=io.

Les termes qui dépendent de U et ceux qui dépendent de V devant séparément être constants, nous poserons

Chassant les dénominateurs, on aura deux trinômes, l'un en U, l'autre en V, qui devront être identiquement nuls. Annulant les coefficients deU"

12 L. RAFFY.

et de V*, on arrive aux deux conditions contradictoires

Ainsi, les solutions V = o et U'J = o sont les seules qu'admette Téquation (9). Toutes deux ne donnent que des surfaces applicables sur des surfaces de révolution, puisque les surfaces à courbure constante sont applicables sur des surfaces de révolution. Notre théorème est donc complètement démontré.

QUELQUES PROPRIÉTÉS DES SURFACES HARMONIQUES. l3