La (1 -+-0086)' 3 (n-cos9)'J
SUR LA MÉGÂSIQTJE RATIOUKELLE. 5i
dott
__ I 3(i-hcosa)(i-f-cosp)('cosa-f- cosp) — 2(cosa — cosp)' '"^ 4 (' + co8a)(i -4- cosp)(a-h cosa-f-co8p)
39. Centre de grav^ité du volume compris entre les trois plans de coordonnées rectangulaires et les surfaces des cylindres elliptiques
La surface courbe qui limite Tespace compris à l'intérieur des cylindres au-dessus du plan xy est la voûte d'arète, et les lignes d'intersection des deux cylindres sont contenues dans les plans ay = ± hx. Nous ne prenons que le quart du volume compris sous la voûte \ des plans horizontaux y déterminent des sections rectangulaires dont les côtés ont pour longueur
On aura de suite le volume Y et l'ordonnée z du centre de gravité
Vz, r= I — (c* — z^)zdz z=z -rabc^^ z,: J «' 4
Pour prendre les moments par rapport au plan des j^z, 3 faut diviser le volume en petits prismes de base dx dj^ parallèles à OZ^ mais la hauteur de ces prismes n'a pas la même expression aux divers points du plan xy\ pour les points compris entre Taxe des x et les droites x = a et ajr = hx^ le volume des petits prismes est limité au second cylindre parallèle à OY -, au contraire, c'est au premier cy-
3 a RECUEIL D EXERCICES
lindre que se terminent les parallèles menées à OZ par des points compris entre Taxe des y , les droites j^ = 6 et ay = i& x. On partage Tintégrale définie en deux
hx ay
Vx,= \ dx\ rfj-- y^»— .jJ-f. [ dy \ dx^JLs]h^ — yn
Pour la première, on intègre d'abord par rapport à y*, ^^ dans la seconde c'est par x qu'on commence, et l'on trouve, en écrivant y^ par analogie,
40. Centre de gra\fité du volume compris entre le plan des xy^ le plan des zx^ la sphère de rayon a dont le centre est à l'origine, et le cylindre
X» 4- ^* — ax ^ o«
Le volume ainsi défini et la surface sphérique qui le limite ont été étudiés pjir Viviani. Prenons des coordonnées semi-polaires r, S et z ^ sur la base du cylindre, on a r = a cosd, et les formules ordinaires conduisent à des quadratures qui ne présentent pas de difficulté :
rdrJà^ — r*=rr —^ a*.
lO
Va:,— j jr'cosB^a^'-r^dBdr= ^a\ Vj, = r /V» sine y/ a'— F^dBdr = ^^
On en déduit de suite Xi, j^i, «i.
SUR Ll MÉCAKIQUB RATIOHNELLE. 53
41 . Des solides terminés par deux faces planes parallèles, et tels que l'aire de la section faite par un plan par rallèle à la base s'exprime par une fonction entière et du deuxième degré de la distance du plan sécant à la base.
La définition précédente comprend un grand nombre de corps remarquables par la simplicité avec laquelle on peut déterminer leur volume et la distance de leur centre de gravité aux bases. Soient a A la hauteur d'un de ces corps, z la distance de la base inférieure à un plan parallèle horizontal, pour fixer les idées, et
A=: mz^-hpz H- q Taire de la section déterminée par ce plan. Le volume est
(mz' -hpz-h q)dz = - (8/wA' -f- &ph + 6^).
On peut l'écrire
V= -^[(4/wA»-f-2/>A-l- q) -^ ^{mh^ -h ph -^ q) -V- q].
Les trois parties du crochet représentent Taire de la base supérieure, de la section moyenne et de la base inférieure ; désignons-les par 61, Bi, 60, et nous aurons
V=g2A(B.-4-Bi-l-4B,).
La distance du centre de gravité à la base inférieure est
5,= -- I [mz^'+'pz -h q)zdz
= ^' (6inA»+ 4/,A + 3) = Il (B. + aB,). On aura de même la distance à la base supérieure et leur
ascDBiL d'sxebgices
rapport
z\ Bp-f-aB,
Dans la classe des solides cpie nous considérons rentrent les segments de surfaces du second ordre, et les polyèdres limités par des bases parallèles, et latéralement par des triangles ou des trapèzes dont les sommets coïncident avec ceux des bases. Pour le montrer dans ce dernier cas, prenons le plan de la base inférieure pour plan des xy \ les arêtes latérales sont représentées par les équations
le polygone déterminé par un plan sécant parallèle à xy a des sommets dont les coordonnées sont fonctions linéaires du z du plan ; ce polygone se projette en vraie grandeur sur ocy^ et Ton sait que Taire d'un polygone est une fonction entière du second degré des coordonnées des sommets, et par suite de z. Puisque le nombre des faces latérales est quelconque, on peut les supposer infiniment étroites, et avoir le solide limité par deux faces parallèles et une surface réglée quelconque.
Ce résultat est très-souvent utile, surtout si l'on connaît à l'avance une ligne sur laquelle doive être le centre de gravité. Indiquons seulement quelques applications. Le centre de gravité d'un demi-ellipsoïde divise le demi-axe dans le rapport de 3 à 5. (Volume et centre de gravité d'un tas de pierres). Quand deux surfaces du second degré se coupent suivant deux coniques situées dans des plans parallèles, le volume compris entre ces deux surfaces (tel serait le volume engendré par la rotation d'un segment de conique autour de l'axe) a son centre de gravité au milieu de la droite qui joint les centres des coniques communes. Que deux ellipsoïdes homothé tiques soient coupés
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suivant des courbes réelles par deux plans parallèles, le volume compris entre les deux plans et les deux ellipsoïdes a son centre au milieu du diamètre commun^ car les aires annulaires déterminées par des plans de section parallèles sont équivalentes.
42. Volume et centre de grai^ité d'un prisme ou d'un cylindre tronqué.
Je prends pour axe des x l'intersection des plans des deux bases, pour axe des y une perpendiculaire abaissée du centre de gravité G de la base inférieure, pour axe des z une parallèle aux génératrices faisant l'angle i avec le plan XOY j enfin soit z z=icy l'équation du plan de la base supérieure ^ on a, en étendant les intégrales à la base inférieure,
