Centre de graidté de l'aire comprise à l'intérieur
SUR hk MÉGAVIQITB &ÀTIOJISELLE. 43
d'une parabole et d*un cercle représentés p€tr les éguations
Le cercle passe au sommet de la parabole et touche son ai[e \ il rencontre la courbe en un point dont l'abscisse est 4a, et le segment considéré est biconvexe. Pour évaluer les intégrales qui servent à déterminer le centre de gravité de l'aire, le mieux serait de la décomposer en bandes infiniment étroites parallèles à OX; mais, pour donner un exemple des précautions à prendre dans le calcul des intégrales multiples où l'expression analytique des limites change, je décomposerai en éléments dxày^ et j'intégrerai d'abord par rapport à y. J'ai une expression de la forme
X=ffda:djr=:Ç(y^y)dx;
X ne varie pas seulement de zéro à 4^? mû^ de zéro à 5 a, parce que le rayon du cercle est 5 a, .et l'arc qui limite le contour est ]> un quadrant. Dans tout l'intervalle, on aura
mais jr^ sera yJiGax quand x ira de zéro a 4»? et
5a 4- Y^aSa* — a:' quand x est compris entre 4a et 5a; donc
A = — à' arc sm 7 :? «%
en prenant l'arc sinus terminé dans le deuxième quadrant, laô^Sa'ia'^, ou, en parties du rayon, a, ai 43. L'intégrale fxdxdjr se calcule de même et donne
A jr, = 2-=- a».
44 HEGUBIL D^EXERCICES
Enfin
Jr»5a
dx ^aôa' — j:%
A/i = a^ arc sin ~ ^ a'.
L'arc sinus est le même que dans la première intégrale. On a sans peine Xi et j^i.
32. Centre de gray^ité d'une demi-boucle de la lemniscate de Bernoulli
rrnz a vâcôsaO.
On fait varier fi de zëro à j \ alors /• = o, et l'aire de la courbe est
ir w
f 1 rdrdB:=za^ j cos^9dê = -a',
TT
Ax, = 1 1 /-'cosÔ€/r£fô = - a* 1 v^a cos9(cos29]'€/G. On intègre en posant u= ^ sin 9, d'où
^2 COSÔ rfô = £ftf, COS2 9 = 1 — U*j
Aj, = 1 i r*sinO£/r<fe = ^ a» / ^ 8in9(cos2 0)' €A.
sua LÀ MÉCAHIQUE RÀTIONUBLLE. 4^
Posons ^ cosfl = u^ ^ siaOdd = — du^ cosaS = «• — i ^
A/. = I a»f («'- l)^du = a* fi L(i h- y/i) - ^ V^].
On en conclut
^• = 7^» Ji = «^L(n- V^)— |v^ •
33. Déterminer une courbe plane telle que le centre de graK^ité de l'aire comprise entre les axes, la courbe et
l'ordonnée x = A ait pour abscisse Xi = r •
La courbe cherchée satisfait à l'équation
II) -. / ydjoz= I xydx.
Différentions et réduisons \
ydx7= — .r»7;
Diflerentions encore ^
a^yzrz (aax-4- 3x')j-f .r'(a-t- x) -»-'>
d'où
I dy a^ — 2rt.r — 3jp' a — 3.r
y dx x*[a -h xj x'
L'intégration donne évidemment
La courbe présente un point d'arrêt à l'origine^ du côté des X positifs, elle part de l'origine tangentiellement à OX, s'élève an-dessus de cet axe, et lui devient asymptote pour
46 KECUBIL I>*BXBmCICB8
X infini. Quand x décroit de zéro à — « j J" croît de — oo à zéro. De ce côté de l'axe des x^ il était impossible a priori de satisfaire à l'énoncé du problème ; mais il n'y a pas contradiction avec nos calculs, car, si x est <[ o, la valeur trouvée pour j^ rend infinies les intégrales de l'équation (i), et celle-ci devient illusoire.
34. Etablir la relation qui existe entre les aires des quatre triangles ayant pour bases les côtés d'un quadrilatère et pour sommet commun le centre de gra\dté du quadrilatère.
Prenons [fig* a) pour axes les diagonales A A', BB^, et faisons OA = a, OM=a\ 0B = 6, OB'==i', A0B = 9. Joignons B, B' au milieu M de AA'^ il est clair que le centre
de gravité G se trouve sur une parallèle à BB^ qui coupe MB et MB' au tiers de leur longueur à partir de M \ et, comme
OM = - (a — a'), l'abscisse de G est - (a — a') \ par ana-
logie, son ordonnée sera ^ ( J — V), Maintenant Faire du triangle GAB est
-sin9
= i àn^iab Jr iib' -f- ba!), O
SUR LA MÉCUJflQtJB lUTIOlTirELLE. 4?
L'aire de GBA' se calcule de même, A' ayant pour coor» données — a, o,
GBA'= p = g sm^{ab -4- ba' -f- a'b'); de même
GB' A = ^ = g sinÔ(aé + ab'-\-a'b').
Ott tire de ces équations, en posant a-f-(34-7-hî = S,
U suffit d'égaler le produit des deux premières et des deux dernières quantités; on a, en divisant par 12 coséc*0,
ou
Les quatre aires ne peuvent donc être prises arbitrairement.
35. Centre de grayité de la portion de surface du paraboloïde
qui se projette sur le plan des xy entre les parties positives des axes et l'ellipse
-;-4-7-=i, « = o. ( FuHaiiAxrv.)
Le long de la courbe à double courbure qui limite l'aire
48 HECUEIL d'exercices
proposée, la normale au paraboloïde fait un angle constant avec Taxe àesz (licence, 1874)9 ^^ calcule les intégrales du problème en remplaçant x, j- par les variables
x= au sin^^ jrz= bu cosff]
on a tous les points situés à l'intérieur du quart d'ellipse
donné en faisant varier u de zéro à i. 9 de zéro à -; on
découpe le plan eu petits parallélogrammes qui ont pour aire, d'après les formules connues pour le changement de variables dans les intégrales multiples,
/dr djr d.T dY\ , , • . .
flff = I -; ; ; \ dU dff =1 OO U du OO.
\r/f du du dtf J ' *
La normale au paraboloïde en x, y fait avec l'axe un angle y tel que
On peut calculer l'aire courbe et ses moments par rapport aux plans coordonnés : .
JC^ r' f ^^^ / r- \
\ I «e/«i/!yyi -+- «'= "^ (a V^ — 0'
A.r,= a*^ I j u*dudff^Tiff\/i-hu'=z—-[3^ — L(i + v^^
Aj'.^flè» I / ttVtt/3?(pcosç^i-+-a'=^[3v^— L(ï-f- ^2/]» A 2,= -ab I 1 a*(asin'f -h b cos'if)dud^^i -+- u*
8VB LÀ MicÀHIQVE mÀTIOHNELLE. 49
36. La distance du centre de gravité de t' étire d*une figure sphérique à un plan est quatrième proportionnelle à l'aire de la figure, à sa projection sur le plan et au rayon R de la sphère.
En effet, prenons le plan de projection pour OXY, le œntre pour origine; on a
A2,=: I / X — rfjr^ = Rproj. de A.
On en déduit que la distance du centre de gravité d'un triangle sphérique ABC au plan du grand cercle BC est
R II — h cosC — c cosB a A-f-B-hC — ir '
cette formule et les deux autres analogues font connaître le point cherché.
Considérons une demi-boucle de la surface de Viviani
:r' H- J'' -4- a* = R^ jr* -t- 7* — R j: ~ o ;
son aire est ( 1 1 R', et ses projections sur les trois
plans coordonnés sont, comme on le voit sans peine,
on en déduit
gR (3ff — 8m irR
Centre de graTlté des solides.
37. Centre de grai^ité du volume homogène engendré par la révolution de la boucle d'une strophoïde autour de l'axe.
Di S.-G. — Ree. 4
5o UECUEIL d'exercices
Prenons Taxe pour axe des or, et le point double pour origine-, l'équation de la courbe est
Le volume est
z=n I I — a^^-l-2fl.r — 2û^H J</xz=2irfl*f La— ^j-
Le centre de gravité est sur l'axe des a:, et, x^ étant son abscisse, on a
r** a — x^ fin ^ \
Vx,= f ir.r^ dx^=zva* ( — — 2L2 ) ,
d'où
in — 24 L 2 o , 365 ^
38. Centre de gray^ité du volume engendré par le secteur parabolique compris entre deux rayons vecteurs et tournant autour de l'axe de la parabole.
Le rayon vecteur correspondant à l'angle 9 est
^ i-f- cosO
et, si a et P sont les angles polaires des rayons qui limitent le secteur, on a
V =2ir / \ T^ûn^mdrzzzlp^JÎ- î . \ 1,
t/« Jo ^ [(H-cosp)^ (n-cosa)*J
Vx,=:2it I I r^sinOcosO^e^r
J K Jo
