Exemples
UL
at o
ai
Oi
bi b, o o
61 Cl bt Ca
<?4 Cl rf,
Ci di d, rf.
Ot bt Ci Oi b. Cl a, b, c.
ai bi Cl ai bt Ci
«4 64 Cé
= abc — (a -f- 6 -4- c)X'-h aX'.
66. Théorème n. — Lorsque, dans un déterminant, les éléments de la première ligne sont égaux à V unité, et que chaque élément de toute outre ligne est égal à la somme des éléments qui^ dans la ligne précé^ dente, sont au-dessus et à gauche de cet élément, ce déterminant est égal à l'unité.
44 WVRB I. — -
CHAPITBB II.
Dans le déterminant
qui satis/ait à ces conditions, retranchons chaque ligne de la suivante, et faisons de même pour chacun des déterminants qui en résultent; nous obtiendrons successivement
d'où
67. Théorème III. — Tout déterminant peut être mis sous la forme d'un déterminant plus élevé.
Car, en vertu du théorème précédent, on a évidemment
ai
fr.
at
ai
O Ct
Ci Yx
C7 yi
Ci ra
Cz
Les éléments j:„ ar„ jr,; ji, /a, Tz\ m,, «„ w, et i',, i',, Ca, v^ qui ne se trouvaient pas dans le déterminant primitif, peuvent recevoir des valeurs quelconques.
GOHBlIfÀlSOIf BT PROPRIÉTÉS DBS DÉTBRIIINANTS, BTG. 4^
68. Théorème IV. — Lorsque tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale s* évanouissent, le déterminant se réduit à son terme principaL
Considérons, par exemple, le déterminant du quatrième ordre
M^ bt Cl di
o bj Cs d, o o Ci di
Tous les éléments, moins un, étant nuls dans la première colonne, on a (64)
62 C] âfa
o Ci rf, o o ^4
= aiA«,.
Dans le déterminant A«^, tous les éléments, moins un, de la première colonne étant aussi égaux à zéro> il vient de même
mais
éï Ci di o Ci rfa o o ^4
Ci di o di
= bi
Ci di
Cid,;
par suite, on obtient A«^= btCid^; donc on a
A = ai biddi,
* 69. Théorème V. — Lorsque, dans un déterminant, les éléments de la première ligne sont respectivement égaux aux éléments correspondants de la diagonale et jqiùen même temps tous les éléments situés audessous de la diagonale sont égaux et de signes contraires aux éléments respectifs de cette diagonale, le double déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale, multiplié par une puissance de a marquée par le degré du déterminant, (DosTOR, Archip der Mathematik una %«X, t. LVI, p. aSg.)
46 LITBB I. — CHAPITBB II.
Soit le déterminant du quatrième ordre
-fl -b
qui remplit ces conditions, et où les éléments a, ^ et 7 sont des quantités quelconques.
Conservons la première ligne, puis ajoutons cette ligne à chacune des trois suivantes; le déterminant ne change ni de valeur ni de signe (60), et
il vient encore
abc d
00 ac rf-+-7
Dans ce déterminant, tous les éléments situés au-dessous de la diagonale sont égaux à zéro ; par suite, le déterminant se réduit à son terme principal (68); donc il vient
2A= 2a.2^.2c.2^ = i^.abcd.
70. Théorème VI. — Lorsque, dans un déterminant, un élément est égal à zéro, ce déterminant est égal, à un facteur prèSf à un déterminant de même degré, dans lequel les autres éléments de la ligne et de la colonne qui contiennent ce zéro sont égaux à l'unité.
En effet, nous avons d'abord (27 et 28), en multipliant la seconde et la troisième ligne par a^ et a,, puis en divisant la première colonne par a^as,
Ar=
*i Cl
Ui bi Ci
Ui fts Cz
a^bi
a^bi a^bi
ai Ci
aaCa
multipliant actuellement la seconde et la troisième colonne
COMBINAISON IT PftOPRIÉT<S DBS BÉTBBHINANTS, ETC. 4?
par Cl et 61, puis divisant la première ligne par 61 c,, on ob*
lient
0 fri Cl
1 ûz 6s ûi Ci
I Ci bi Oi Ci
0 btCt
1 Oi 62 Cl I /la &3 Cl
As 6| C] Al fr| C3
I ciibiCi CibiCt
1 Aa 63 C| As 6| Cs
donc il vient A = Ai*
Si le déterminant avait été du quatrième ordre, on aurait trouvé que
c, rf,
Oi bi
c, di
ÛJ *3
C3 di
a^ûib^Cidi atO^bzCxdx
dza^bxCidi a^a^biC^di
a^ûibiddi
chOi^ibtCtdi
QiQibiCxdi
aiOib^Cxdi
ajûibiCidi
diCiibiCidi
Il est aisé de deviner la manière d'opérer qui fournit ce dernier résultat. On pourrait aussi facilement en déduire une règle générale pour transformer de la sorte un déterminant d'un ordre quelconque ayant un élément nul.
71. Définition I. — Dans un déterminant, deux éléments sont dits conjugués, lorsque chacun d'eux occupe, dans les lignes horizontales, la même place que l'autre dans les colonnes verticales, et réciproquement.
Ainsi, dans le déterminant
Ui 6| Cl
Ui bt Ca
fls ^3 Ci
48 LIYRB I. — CHAPITRE II.
les éléments a, et bi sont conjugués; il en est de même des éléments a^ et ci, bt et C2.
72. Définition IL — Un déterminant est sjrmétrique, lorsque les éléments conjugués y sont égaux. Tel est le déterminani
abc b ^ a c a y
73. Théorème VIL — Lorsque, dans un déterminant, les éléments du terme principal sont des zéros, et que les éléments de la première ligne sont respectivement égaux à leurs éléments conjugués de la première colonne, ce déterminani peut se transformer exactement en un autre de même ordrcy dans lequel, les éléments de la diagonale étant nuls, les autres éléments de la première ligne et de la première colonne sont tous égaux à Puni té.
En effet, nous avons d'abord (70)
Arr-
a 0 z' jr
a 0 caz* abjr
abc
b bcz 0 abx*
abc
c bcy cax 0
où nous avons multiplié les trois dernières colonnes par les produits respectifs bc, ca, ab; divisé la première ligne résultante par abc; puis divisé hors barres par abc.
Dans le second déterminant Ai, divisons les trois dernières lignes respectivement par a, b, c et multiplions hors barres par le produit abc; nous aurons
A, =■ abc
I cz
i by
cz'
ax
bjr ax'
COHBmAISON BT PROPRIÉTÉS SES DÉTBRHINANTS, BTG. 49
donc 11 vient
o cz
by
cz'
o ax
by
ax'
On verrait de même que
II
I ce
o oo' 66' ce' aa' o ce' 66' 66' ce' o aa!
cd 66' aa' o
7&. Corollaire. — Dans Tégalilé (I)» posons
x = x'^=^ay ]rz=zyz=:by z = z'.= c;
elle deviendra
:ui)
75. Définition III. — Dans un délerminant, la diagonale {uî contient les éléments du terme principal est dite vide >u pleine, suivant que ces éléments sont nuls ou différents le zéro.
76. Théorème VIII. — Tout déterminant, à diagonale pleine^ peut ■e décomposer en déterminants à diagonale vide.
Dans le déterminant  du n"" 13, remplaçons les éléments principaux f„ ^,, C3, ...,(, par autant de zéros; nous obtenons le nouveau déterlinant
EKwroR. — Diterm.
