LIVRE ]. — CHi.PITftE II

OÙ manquent tous les termes qui contiennent, comme facteurSi on ou plusieurs des éléments a,, ^3, ^„ ...,/„ de la diagonale.

Appelons C^ Tune des combinaisons 1 à / de ces n éléments évanouis et A^'i-') le déterminant mineur à diagonale vide qui lui correspond; il est évident que C< Ai«-«) sera Tun des termes supprimés. Par conséquent, l'ensemble des termes supprimés sera la somme zC^à^'*-*), où il faudra donner à / successivement les valeurs i, tii, 3, . . ., /i.

On obtient ainsi la formule

A(«)r= Ai«)4- 2C,Af«-*)-4- 2C,Ai«-«)-+-2C3Ai«-3)

2C A(*t-rC,

attendu que A</)= o.

Si nous appliquons cette formule au déterminant du troisième ordre, nous voyons que

77. Les déterminants à diagonale vide se présentent dans un grand nombre de formules. Nous donnons ici plusieurs d'entre eux, que nous retrouverons plus loin dans les applications.

- 7, abc y /

= a^4- 6*+ c^-— aft'c* — ac*fl'— 2a'i'

COMBINAISOIf ST PROPHÈTES DBS DÉTBRII1NANT8, ETC.

1 o ad

bb'

\ ad o

bb'

! bh' cd

aal

cd bb'

— ^bV cd — ^cdad — 2.ad bb\

I dd''^b'b'''^dd'—ib^b'*c^d^ "~ I — ^c^d^a^d^-- là'd^b'b'K

78. Théorème EL. — Dans un déterminant, lorsque le premier élé^ ment est zéro et que les autres éléments de la première ligne et de la première colonne sont égaux à l'unité, on peut augmenter ou diminuer d'une même quantité les éléments de chaque ligne dans le déterminant mineur y que Von obtient par la suppression de la première ligne et de la première colonne (Sylvesteb, P/ûlosophical Magazine , iSSa).

En effet, dans le déterminant

multiplions la première ligne successivement par les trois quantités \ , À", et ajoutons les produits respectifs aux trois autres lignes; nous

obtenons le déterminant

1 fl'-f-À» b'-i-y

qui est équivalent au déterminant A.

79. Corollaire I. — On peut de môme augmenter ou diminuer d^une même quantité les éléments de chaque colonne du déterminant mineur, c'est-à-dire que

fl'-H a

LIVEB I. — CHAPITRE II.