PRODUIT DE DBCX DÉTERMINANTS
OU
^=«4\ — «i\-+-«cV
Les trois déterminants mineurs Â. , A^ , A peuvent aussi être ordonnés par rapport aux éléments de leurs quatrièmes colonnes ; on trouve ainsi, pour le premier de ces déterminants,
OU
= P(Ps7.-?.7s) = P
On verrait de même que
Pt 7.
Pc 76
et A. = P
Ps 7s
SI nous substituons ces valeurs dans Tégalité (i), il nous viendra
ou
( I Pe 7«
A = Px
i Pe 76
P4 7* Ps 7i
Pe 7«
= PxQ,
ce qu'il fallait prouver.
Il est facile d'étendre cette démonstration à un déterminant de degré pair quelconque, satisfaisant à l'énoncé.
98. Théorème. — Le produit de deux déterminants de même ordre peut se mettre sous Informe d'un déterminant de cet ordre. Les éléments des produits sont les sommes des produits que ion obtient^ en multipliant les éléments de
68 LIVRE I. — CHAPITRE IIU
chaque colonne dans Vun des déterminants par les éléments correspondants de toutes les colonnes successives de Vautre,
Ainsi Ton a le produit de deux déterminants du second ordre
«1 bx
ai
ai 02
Pour le démontrer, prenons l'identilé
bi
bi
Dans ce dernier déterminant, à la première colonne, ajoutons ai fois la troisième plus a^ fois la quatrième; puis à la deuxième ajoutons 6i fois la troisième plus (2 fois la quatrième colonne; nous obtenons
OiXi-h atOCi biai-^ biXi ai a,
«.p.-i-aaPi ftiPi-+-*2P2 Pi p,
mais ce déterminant est égal au produit des deux déterminants (96)
aiCCi-haiXi biOCi-^ biCCi
a, [3, -h «2^1 fciPi-+- fciP*
dont le dernier est égal à i ; donc on a
a, a, -h a, «2 bxXi
aiP.+ asP» *.Pi4- 62P2
ce qu'il fallait prouver. .
99. On obtiendra le produit des deux déterminants du troisième ordre,
«1 Pi 7i
«3 Ps 73
