LIVRE I. — CHAPITRE III

V Académie de Berlin^ 1773, p. 285, et Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticœ, iS'], i58 el 268; ils l'ont énoncée el démontrée dans des Mémoires qui ont été publiés en même temps dans \e Journal de r École Polytechnique, XVP Cahier, p. 286, et XVII" Cahier, p. 81 et 107.

101. Remarque I. — Le produit A de deux déterminants d et i peut s'écrire sous quatre formes, en général différentes (Cauchy, Journal de l'École Polytechnique, XVII" Cahier, i8i5, p. 83).

En effet, on peut composer :

i^ Les éléments de chaque ligne de S avec les éléments de toutes les lignes de d;

2? Les éléments de chaque ligne de 8 avec les éléments de toutes les colonnes de d;

3^ Les éléments de chaque colonne de à avec les éléments de toutes les lignes de d;

^ Les éléments de chaque colonne de S avec les éléments de toutes les colonnes de d.

Ainsi l'on a le produit des deux déterminants du second ordre

«1 il

(ni)

Uiai-h 6i{3i

ajai-4- 6a{3,

Utai-hbiPi 1

a.ai-f-aaPi

«laj-HOïPj

bioci-h 6,p,

biOCi-h- 6,p,

ûiai-*- biai

UiOCt -+■ btcci

aSi-hb,^,

tf,ai-h atUi

6, ai -h biCCi

Si Ton effectue et qu'on développe ces quatre produits et que l'on supprime dans chacun d'eux les termes égaux et de signes contraires, on trouve la même quantité

ûr «,62^,4- atocibt^i — aaai6i(3a— ataib^^t :=a,b,[ a, (3, — aj (â, ) — fla Ai ( «i Pj — aï(3, ) z=z (aibi— Utbi) («1^2— aj(3i).

PRODUIT DE DBUX DÉTERlIUfAlTTS.

i02. Remarque II. — Si Ton avait à faire le produit de deux déterminants d'ordres différents, on transformerait celui de moindre degré en un déterminant de même ordre que l'autre (67).

Ainsi Ton a

*3«S-+-^3Pl

103. Exemples. — Nous donnons ici> comme exercices, quelques produits de deux déterminants :

ABC

Bj -H C X'x

X jr I

kx kx'

B'r H- C A''x -f- BV H- C"

By -h c k''x' -t- By -T- c*

kx'-r-By-h c A'x" -t- By H- c; a^ot" h- by -t- c

ol'

I ^Vp» -2^ — 2p

1 (P^i^ —id — 2^

o (a--by

a'-^OL^

ab -+- ap ^7c H- a7

ab H- ap

flc -+- a7

bc-\-^ c*-}-7*

aa' -f- aa'

^a' -f- pa' ca' -h 7a'

flA' -f- aP'

^ô'-f-pp' c6'-h7P'

ac' -h 07'