AV

OU bien

«.«,-^«iaa =

(flû ^^-+- ce' dd) -+- («^' -^-^^^'-F cr/' -t- rfc') v-i,

- [ac' -+- i»rf'- ca'-db') -^ {ad'-bc' - c^>' -h rf/z') v/-i,

(flc' -f- bd-ca'- db') -h (flr/- ^c'- c6'-+- da') v/-i,

(««' - ^6' -+- cr' - rZ/f) - [ab' -+- bd-^cd'^ de') \/~i.

Ce déterminant sera par suite

A -H B v^ C H- D v/— ^ -Ch-Dv/^ A — By/^

DS

X^aa'— bb' -h ce' - dd', B ^ ab' -^ ba'-+- cd' -+- de', C = ac'-+- bd'^ ca'- db', D -= or/'- ^c' — cb' -t- ^a'.

74 LIYRE I. — CHAPITRE 111.

Notre identité deviendra ainsi

= (r/a'- bb' -h cc'^ddy-h (ab'-i- ba'-h ccf-h dc'y -^{ac'-hbtt~ca'—db'y-h{ad'~-bc'-cb'-^da')\

ce qui démontre ]e théorème suivant :

\ Le produit de deux sommes de quatre camés est lui-même - la somme

de quatre carrés (*).

Il reste à remarquer que Tégalité précédente peut s'écrire de plusieurs manières ; car on a évidemment le droit de changer le signe de l'une quelconque ou de plusieurs des huit quantités a, b^c^ d\ a\ b\ c\ d.

Ainsi, en y changeant les signes de b et de d\ elle devient

= {aa'^- bb'-r- ce' -^dd)^-^ (ab' - bd- cd -^ de' Y -+- [ac'-^ bd- cd— dby-h [ad'- bc'-^ cb — dd )».

§ II. — Carré des déterminants.