Dans la formule [I) du n^" 98 posons

nous trouvons ainsi le carré du déterminant du second degré

CLx hx

0,1 bi

ou

{axb^-^a,bxY={a]'hal){b]-hb\) — {axbx-ha^b,y. Ce résujtat, qu'on peut écrire

prouve que :

Le produit de deux sommes de deux carrés est lui-même la somme de deux carrés.

( * ) yoir les Propositions relatit'es à la théorie des nombres, par M. E. Catalan {Nouvelles Annales de Mathématiques, q*^ série, i874f t. XIII, p. 533).

PRODUIT SB DEUX DÉTERMIllÀirTS. 75

106. Si nous introduisons nos mêmes hypothèses dans les formules (III) lu a** 101 , nous verrons que le carré du déterminant du second ordre peut se mettre sous les trois formes suivantes :

a,a^-hb,b.

a\-ha\

b]^bl

107. Le carré du déterminant du troisième ordre s*obtient de même par la formule (11) du n*" 99, en y posant

«i=ûi» pl=^» 7.=^.»

n vient, par suite,

a]-hb\-^c\

al-hbl-^c]

a^f^-hb,b,-hc,c^

al-fbl-^ cl

Nous voyons, par ces résultats, que le carré d'un déterminant est un déterminant symétrique.

§ III. — Les déterminants multiples.

108. Lorsque, dans un déterminapt, tous les éléments de la première ligne ou de la première colonne sont égaux à l'unité, on peut en simplifier la notation par la suppression de cette ligne ou de cette colonne et par le dédoublement de chacune des deux barres qui comprennent le déterminant.

Ainsi les deux notations