ÉQUILIBRE DES CORPS SOLIDES
Compositloii d'un système quelconque de forces.
43. Des forces quelconques F«-, agissant sur un solide invariable, peuvent toujours être transportées en un point arbitraire O du solide, et donner une résultante constante R, pourvu qu'à cette résultante on adjoigne un couple dont le moment G dépend du choix de O. Prenons ce point pour origine de trois axes qui feront entre eux les angles X, pi, v^ soient X/, Y,-, Z^ les composantes de F/ parallèles aux axes, Xi^ ji^ Zi les coordonnées de son point d'application \ on aura, pour les composantes de R,
X = 2Xf, Y = 2 Y,-, Z = 2Z
et, pour les moments des couples situés dans les plans coordonnés, et dont la résultante est le couple G,
L sin^ = sin^I (j^/Zj — «,Y/)
Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que R et G soient tous deux nuls, ou que la somme des projections des forces sur trois droites non parallèles à un même plan soit nulle, ainsi que la somme de letu-s moments par rapport à trois droites formant les arêtes d'un trièdre, ou enfin que X, Y, Z, L, M, N soient nuls.
Pour que le système donné puisse se réduire à une force unique, on voit géométriquement que R doit se trouver dans le p]an du couple G \ pour l'établir analytiquement, on
cherche un point x^j^z^ tel qu*en y appliquant deux forces, l'une R', égale et parallèle à R, l'autre R^^, égale et de sens contraire, le couple (R, R") détruise G ; il ne restera que la force R'. On aura
/ L~jZ -I- zY :--o, (i) • M — zX-hxZ-o,
( N — xY-;-rX:-.o;
il suffit d'ajouter ces équations multipliées par X, Y, Z pour éliminer jc^y^z:
(2) LX^MY-i-NZi=ro.
Quand cette équation est vérifiée, les équations (i) se réduisent à deux, qui représentent une droite confondue avec la résultante unique R^ On peut avoir les équations de h droite sous la forme ordinaire, en ajoutant les deux dernières équations (i) multipliées respectivement par Z et
— Y; il vient
x(Y»-hZ'; — NY^-MZ.--:X(Yr-f-Z2).
On en conclut aisément qu'en posant X' -h Y* -i- Z* = S'
(S' == R* si les axes sont rectangulaires), la quantité
— (Xx -h- Y^ -i'ZiZ) a trois valeurs égales
' - i (NY - MZ) X- ^, f LZ - NX) 3 - ^ (MX-KT'
Ce sont les écjuatîons de la résultante.
La condition (2) exprime que R est dans le plan du couple G,Lx^Mj^Nz==o,ïlja intérêt a vérifier ce fait par le calcul, dit Duhamel {Sciences de raisonnement)-^ voici sa démonstration, un peu simplifiée. Prenons sur OX une longueur OA :^ i ; on peut réaliser le couple
SUm UL XÉCINIQUE RÀTIOUirBLLE. Sg
Msinjx par une force Fi égale à M agissant suivant OZ, et une force F« égale et de sens contraire agissant en A ; de même N sinv serait donné par une force F^ = îf agissant suivant le prolongement de OY, et une force F4 agissant en A, égale et de sens opposé à Fs *, enfin on obtiendrait le couple L sinX à l'aide d'une force F5, égale à M, agissant suivant le prolongement de OZ et une force égale et de sens
contraire ¥s agissant sur Taxe des^ à une distance OB = jn'
Fj et F, se détruisent 5 F, et F* donnent une résultante en A, parallèle au plan desj'z^ et dont les composantes suivant OY et OZ sont N et — M ; Fs et Fg donnent en B une force égale et de sens contraire à la précédente j le plan des résultantes partielles est le plan du couple : il est parallèle à ces forces et à la droite AB, dont les équations sont respectivement
Le plan parallèle mené par l'origine est La:-f-lVl7'-i-Nz=o.
Pour avoir Taxe central, supposons que l'axe G du couple fasse l'angle 0 avec R, et décomposons ce couple en deux autres, l'axe de Tun étant dirigé suivant R et égal à Gcos9 = K, l'autre ayant son axe G sinô = H perpendiculaire k R. Transportons R en un point G de la perpendiculaire au plan (G, R), tel que R X OC = H, et que l'observateur ayant ses pieds en O, sa tête en G, voie R à sa gauche, G à sa droite^ le couple provenant de cette translation détruit H.
Supposons nos axes de coordonnées rectangulaires : les formules de la Géométrie analytique nous montrent que les cosinus directeurs de OC sont
NYj-MZ LZ — NX MX— jrr "RG^ê" ' RG sin 9 ' RG sin 0
6o RECTTEIL d'eICEEGICES
On a immédiatement les coordonnées de C, et l'on tronve que les équations de l'axe central ont précisément la forme (3) , où U sera l>on de remplacer S par R. Quant i K, il
estGcose= i (LX + MY + NZ).
Si du système R et K on veut revenir à une force R appliquée en un point O quelconque a la distance h de CC, Taxe du couple résultant de la translation des forces en 0
aura pour longueur G = ^K'-i- A* R*, et fera avec CC un
angle dont la tangente est -— • On sait d'ailleurs que cet
axe est, parmi toutes les droites qui passent en O, celle par rapport à laquelle les moments des diverses forces du système ont une sonune maximum G ; la somme des moments par rapport à une droite inclinée sur OG de l'angle f serait G cosf .
44. On peut remplacer la force "R et le couple K, c'est-à-dire toutes les forces du système, par deux forces P, Q, dont l'une agit sur une droite quon peut choisir arbitrairement, sauf les droites parallèles à V axe central.
Je dis d'abord que la perpendiculaire AB commune à P et Q doit rencontrer CC à angle droit; en effet R étant égale à la résultante de P et de Q est dans un plan parallèle à ces deux droites \ elle est donc perpendiculaire sur AB en direction \ elle doit d'ailleurs la rencontrer, car la somme des moments de P et de Q par rapport à toute droite est égale à celle des moments de R et des deux forces qui constituent le couple K \ on peut choisir le plan du couple perpendiculaire à ce, de manière que les forces qui représentent ce couple rencontrent AB, aussi bien que P et Q ; il ne reste plus que R, dont le moment par rapport à AB doit être nul et qui doit rencontrer cet axe.
Cela posé, prenons sur une perpendiculaire en C à CC
8VR LA MiCAniQUB mATlOirHBLLE. 6l
deux longueurs CA = a, CB = & en sens contraire, si a et & sont positifs; je remplace R par deux forces parallèles R^, R'^ appliquées en A et B,
je réalise le couple K par deux forces égales et de sens contraire, appliquées en A et B, perpendiculaires au plan
ABCC. et toutes deux égales à F = j- • R' et F ont une
résultante P en A, faisant l'angle a avec R ; R* et — F ont en B une résultante aussi perpendiculaire à AB, et faisant avec ce un angle /3 dans un sens opposé à a \
taiig.= ^. tai.gP = ^-
Les droites d'action de P et de Q sont conjuguées.
Le tétraèdre construit sur P et Q a un volume constant. On sait que le volume du tétraèdre est égal au produit de deux arêtes opposées par le sinus de leur angle et le sixième de leur plus courte distance. Ici
V = g PQ(a -+- ^)sin(a H- p)
= — g — (PsiQaQcosp -f-PcosaQsinp).
Or
Pcosa = R', P8in« = F = Qsinp, Qco8p = R'',
Cette proposition est un cas particulier d'un théorème de M. Môbius.
Si l'on a deux systèmes de forces équiv^alents P, Pi, P«7 -7 Q, Qji Qtî ., ^ somme des tétraèdres ayant
6 a RECUEIL D'EXEaCICBS
poitr arêtes opposées les forces d'un système prises deux à deux de toutes les numières possibles est égale à la somme analogue dans l'autre système; seulement, en considérant la perpendiculaire commune à deux forces, et supposant l'une d^ elles fixe, selon que Vautre tend à faire tourner la perpendiculaire dans le sens des aiguilles d'une montre ou en sens contraire, on regardera le ^volume comme positif ou négatif
Pour démontrer le thëorème de Môbius, on égale U somme des moments des forces Pi, Psv-) P^^^ ^^^ forces Q, Qi 5 Qs, . • • P^ rapport à P \ maïs le moment d'une force telle que Q par rapport à P est sîx fois le volume du tétraèdre construit sur PQ divisé par P; en appelant (P, Q) le volume dont je parle, on a
On aurait de même
(Q^ P) + (Q. p. ) ^- . . . = (Q. Q. ) + (Q, QO -<-.•• •
Ajoutant, les termes (P,, Qy) se détruisent, et, divisant par 2,
Si une force P' rencontre P en un point M, la force Q' conjuguée de P' est dans le plan [l qui passe par M et la droite Q. En effet menons par M une droite quelconque MM' qui rencontre Q : la somme des moments de P', Q' par rapport à cette droite est la même que celle des moments de P et de Q ^ celle-ci est nulle, ainsi que le moment de P' -, il doit en être de même de celui de Q' ^ cette droite
Sun LA MtCÀHIQUE RATlORIfELLE. 63
rencontre donc toutes les droites MM' et est contenue dans le plan (i. Ce plan est dit plan focal de M ; M est le foyer de fL,
Quand on point se déplace sur une droite, son plan focal tourne autour de la droite conjuguée.
45. Une force P peut toujours être remplacée par trois autres agissant suis^ant trois droites données dans un même plan avec elle ou en général par six forces Fi , F, , . . . , F, , iuivantdes droites A], Ajv*-) Ae données dans l'espace,
La première partie est très-facile à établir ^ pour la seconde, il suffit d'écrire que les forces F/ et la force — P se font équilibre : on remplace, dans les six équations d'équilibre, X,- par F,- cosa.-, Y,- par F,- cos^,,..., et Ton prend pour Xi^ji^ Zi un point à volonté sur A/, a/, |3,, . . • étant donnés, on a six équations linéaires pour déterminer les F. I^ problème sera possible tant que le déterminant du sjstène d'équations ne sera pas nul \ s'il est nul, les droites Al,..., A« sont tellement choisies qu'on peut trouver six forces difierentes de zéro agissant suivant ces droites et se faisant équilibre. M. Gayley dit que de telles droites sont eninvolution. Si Ai, A^, . . . , As ont une transversale commune qui ne rencontre pas Ae, le système n'est pas en involution, et il le devient si la transversale coupe les six droites \ car, en prenant les moments par rapport à cette transversale, une des six équations d'équilibre est vérifiée d'elleinême. De là ce théorème de Géométrie :
Quatre droites ont généralement deux transversales communes, mais cinq droites n'en ont aucune. Soient, par exception, cinq droites a^h^ c^d^e qui admettent une transversale C^ i, c, d^ e en auront une autre a'^ de même a, c, ^1 e auront une seconde transversale h\ et ainsi de suite : il s'agit de prouver que les droites a', i', c\ d\ e' ont une transversale commune. En effet menons une droite t' autre que a
64 EECVEIL d'exercices
et coupant i', c', d\ e', puis une droite / coupant t et t'^ a, i, c, <i, e, /sonteninvolution, et l'on peut diriger six forces F suivant ces droites, de manière qu'elles se fassent équilibre; si if ne rencontre pas a', on peut décomposer chacune des forces F en six autres suivant a'^ b\ c\ d'^ e\ /^ on aurait six forces en équilibre suivant ces droites 5 or ce serait impossible si t' rencontrait cinq d'entre elles et non la sixième.
46. Quand trois forces agissant sur un solide se font équilibre, elles sont dans un plan et chacune est égale et opposée à la résultante des deux autres.
Cette importante proposition résulte de ce que toute droite qui rencontre deux des forces données P, Q doit rencontrer la troisième R pour que la somme des moments par rapport à cette droite puisse êtne nulle. Faisons tourner la droite autour d'un point de P, de manière qu'elle rencontre Q ^ elle décrit un plan dans lequel se trouve R; mais P s'j trouve aussi, parce qu'elle doit être rencontrée par une infinité de droites qui coupent Q et R : le reste est alors évident. Je propose au lecteur de déduire ce résultât des six équations d'équilibre.
On trouve de même que, si quatre forces se font équilibre, elles sont situées sur un hyperboloïde à une nappe.
Équilibre d'un seul solide.
47. Conditions d' équilibre d'une barre pesante et homogène dont les extrémités reposent sur deux plans inclinés parfaitement polis qui font a\fec l'horizon des angles a, ^.
Je dis d'abord que l'intersection des plans donnés est horizontale, et la barre dans un plan perpendiculaire à cette mtersection. La barre n'étant sollicitée que par son poids P et par les réactions normales N, N' des deux plans, ces trois
forces sont dans un même plan^ or ce plan est vertical, puisqu'3 contient P ; contenant des normales à chacun des plans, il est normal n leur intersection, qui est par suite horizontale^ enfin, les extrémités de la barre étant dans ce plan, elle y est tout entière. Soient donc (fig- 3) OA, OB
les droites suivant lesquelles ce plan coupe les deux plans donnés, AB la barre, x son angle avec Thorizon -, les réactions normales N, N' s'exercent suivant AC, BC, et leur point de concours doit être sur la verticale du milieu de AB. On a
CM sinCAM CM sînCBM AM "" sinMCi' BM ~ sinBCM*
Mais
AM = BM, ACM == a, CA3I = - — a — x,
MCB = 6, CBM = - — p -^ r -,
donc
d'où
cos(a -f- jt) ces (fi — x)
sina sinfi
taDg^r = — ( cotct — cotp).
On calculera les pressions N, N' dont la résuUani.
De S.-G. — Rec.
66 RECUEIL D^EXERGICES
ëgale el; opposée à P :
N N^ P SîÎBCM ~' doÂCM ^ sinACB'
PsinB ^„ Psina
sin{a-hp) sm(a-hp)
On aurait pu aussi égaler à zéro la somme des projections des forces N, N', P sur une horizontale et une verticale et celle de leurs moments par rapport à un point de la barre; j'emploie cette méthode dans Texercice suivant.
48. Une barre pesante et homogène AB est articulée en A à une charnière qui lui permet de se mouvoir dans un plan ^vertical; à Vautre extrémité B agit une force Q
faisant avec la direction ÂB un angle donné a \ quel est le rapport entre Q et le poids P pour que la barre soit en équilibrée et fasse avec l'horizon l'angle 0 : pression sur la charnière.
Soient X, Y les composantes horizontale et verticale de l'action exercée par la charnière, sa la longueur de la barre. Projetons sur une horizontale et sur une verticale les forces qui sollicitent AB :
