Dans le premier membre de l'équation

axa

tous les éléments sont égaux entre eux, à l'exception de ceux de la diagonale, qui sont égaux à l'inconnue.

On retranchera la première ligne de chacune des trois suivantes, ce qui donne

BÉ80LUT10N liïïS tQOATlQlCS ALfitBBIQUBS.

OU, en divisant les trois dernières lignes par x — a,

(ar — a)»

Mais il est facile de voir que ce déterminant est égal à â; -i- 3a; par conséquent, notre équation revient à

[x — aY {x-h3a)=o; donc trois racines sont égales à a et la quatrième est — 3a/ 118. Dans le déterminant de l'équation

à la première colonne ajoutons les trois suivantes; cette équation devient

x-ha-hb-hc abc

b -+- c-^Xrha c X a

c -f-fc+a+ar b a X

dont le premier membre est divisible par a? h- a -+- 6 -+- c.

Si Ton avait ajouté les quatre colonnes multipliées respectivement par I, I, — I et — I, on aurait trouvé que le déterminant est aussi divisible par x-ha — b — c. On verrait de même qu'il est encore divisible par x-hb — c — a et par x-t-e — a — b.

Par conséquent, le premier membre de notre équation est divisible par le produit

,*-t-a-+-fc-hc)(j7-f-6 — c — a){x-hc — a — b)(x'i-a — b — c). Or le premier terme de ce produit est x*, de même que celui

86 LITBI II. — CHAPITRB I.

de notre déterminant; donc l'équation donnée revient à

{x-ha-hb-hc) [x^b — c — a) [x-hc — a — b) [x-{-a — b — c

et admet les quatre racines

Xi = b -^c — a, Xt = c-ha — 6,

* 119. Le premier membre de l'équation

a tous ses éléments égaux à Tinconnue, à Texception de ceux de la diagonale.

Retranchons la première ligne de chacune des trois suivantes : il nous vient

et, en développant suivant les éléments de la première colonne,

3C X JC

OC — X o

on en tire immédiatement

a [b — x) (c — x) (ri — x) — x(x — a) [c — x) [d—x] — x(x — fl) (A — x) (</ — x) — x(x — tf) (& — x) (c — x) =*o,

puis, en ajoutant et retranchant x(x — 6) (x — c) (x — rf),

-h(x — 6){x-c){x-</) I -h (x — c) (x — <f) (x — tf )

■4- (x — rf) (x — /l) (x — 3)