WV»K II. — CHAPITRE II
produits, il nous viendra Téquation
Le coefficient de l'inconnue x est égal au déterminant A (42) ; les coefficients de toutes les autres inconnues sont nuls, puisqu'ils s'obtiennent en remplaçant dans A la première colonne successivement par chacune des autres colonnes (47). Le terme connu est ce que devient A, lorsqu'on y remplace les a par les /* qui représentent les termes connus dans le système (4). On a donc, en faisant usage de la notation abrégée 17 bis),
Toutes ces fractions ont môme dénominateur A; le numérateur de cliaque fraction est le déterminant que l'on obtient, en remplaçant dans A les coefficients de l'inconnue correspondante par les ternies connus. Cette composition est bien conforme à la règle du n** 121.
127. Les valeurs (FV) €les inconnues satisfont toujours au système [\ des équations proposées.
En effet, pour avoir les inconnues, nous avons formé les équations
S.\~S,A„^^S3A^^-...-~(-,)-'SA, = o,
D'abord il est évident que toutes les valeurs des inconnues, qui vérifient le système (4), satisfont à ce dernier système (5).
Je dis que réciproquement toutes les valeurs des inconnues, qui satisfont à ce dernier système (5), vérifient le système donné (4 ).
En effet, multiplions les équations (5) respectivement par a,, — b,y -f- c,, ..., ( — 1 )""'/,, et ajoutons verticalement; dans le résultat les
RÉSOLUTION DBS fiQUÂTIOKS UNtllRBS. gS
coefficients de S,, S3, . . ., S, s'annulent (47), et il reste
[''.\-^\-+-^.\-----(-0"-'AMs.==o
ou
et, comme À est différent de zéro, il s'ensuit qu'on a S^ = o.
On verrait de même que les valeurs des inconnues qui satisfont au système (5) annulent aussi les polynômes S,, S,, . . . , S,; par suite, les valeursfournies par le système (5) ou par son équivalent ( IV ] vérifient les équations ( 4 ) •
Donc les valeurs (IV) satisfont au système donné (4).
128. Nous avons supposé jusqu'ici que le déterminant A des coefficients des inconnues n'est pas nul.
Voyons maintenant ce qui arrive lorsque le déterminant A se réduit à zéro. Dans ce cas, généralement, les n^ déterminants mineurs de A ne sont pas tons nuls.
Admettons que le déterminant mineur A^ , par exemple, soit différent de zéro.
Soit g l'inconnue qui, dans les équations (4], est affectée des coefficients e. Dans le système (5) se trouve l'équation
où le coefficient A^ de S^ n'est pas nul ; par conséquent cette équation peut remplacer l'équation S^ =: o dans le système (4).
Si dans cette équation (6) nous ordonnons par rapport aux inconnues X;/, . . . , elle deviendra
x(fl,A,^-fl,A,^-4-...)-H7(6,A,^-^,A,^-h...)^z(c,A,^-c,A,^H-...)-h...
mais les coefficients des inconnues, autres queÇ, s'annulent (47) et celui de \ est égal à A; par conséquent notre équation(6) se réduit à
f;, AÇ = X.A,^-X-,A,^+... + (-i)--'^A.-
Or nous avons supposé que A = o ; par conséquent, si le second membre
de (7) est différent de zéro, cette équation est impossible. Donc dans ce cas le système proposé (4 ) est impossible. Si au contraire le second membre ( 8 ) s'annule, l'équation (7 ) se changera
