LITRE II. — CHAPITRE II

en une identité ; par suite l'équation Sj = o du système (4), qu'elle remplace, est une conséquence de toutes les autres équations ou d'une partie d'entre elles; donc le système (4 ) se réduit à un système de/?-— i équations

à n inconnues.

Dans le système réduit (9] faisons passer dans le second membre 1<^ termes e, S, <?,Ç, . . . , <?., Ç, ^f^., Ç, . . . , ^„Ç, qui contiennent l'inconnue ç.Si nous traitons Ç comme une quantité connue , nous aurons un système de n — i équations k n — i inconnues, dans lequel le déterminant A' des inconnues est précisément A, . En effet, dans à' n'existe aucun des éléments e qui servent de coefBcients à Ç; de plus il ne s'y trouve aucun des coefficients a^y b^y . . . , /^ de l'équation S^ = o qui a été supprimée; par conséquent A' peut se déduire de A en y supprimant la ligne et la colonne qui contiennent l'élément e^; donc on a A'«= A, .

Puisque A^ est supposé différent de zéro, il s ensuit que le système des équations (9) admet, pour les inconnues •r,j^, z, . . . , une solution et une seule.

Ces valeurs de j:, j, z, . . . , étant exprimées en fonctions de |, le système des équations (4) est nécessairement indéterminé-, car à chaque valeur arbitraire donnée à S correspond un système de valeurs pour

JT, J^, Z, . . . .

Donc, lorsque le déterminant A est égal à zéro et que Vun au moins A^ des déterminants mineurs est différent de zéro, le système des équations (4) ^st impossible ou indéterminé, suivant que le polynôme

/-A, - X- A^ ^ . . . -h r— i)"-»^.A, est ou non différent de zéro,

129. Si les /s' déterminants mineurs du premier ordre étaient tous

nuls dans A, l'un au moins des — - — ;— ^ déterminants mineurs du second

ordre sera en général différent de zéro.

Dans ce cas on verrait, d*une manière analogue, que le système 4) est ou impossible ou indéterminé, et que, s'il est indéterminé, il se réduit à 72 — 2 équations à n inconnues.

En général, si tous les déterminants mineurs de A, jusqu'à l'ordre/i-/' inclusivement, étaient nuls, le système (4) se réduirait, dans le cas de l'indétermination, k n—p équations à n inconnues.

130. Résolution d'un système de n équations linéaires à n inconnues, dont une seule n'est pas homogène. — Supposons que dans les équations (1) du n'' 121 les seconds membres

RfiSOLUTlON DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 97

soient nuls, à l'exception d'un seul, ki par exemple. Le nu* mérateur de la valeur (I) de â; se réduira à

I A"t 6, cr, I

et il viendra

On verrait de même, au moyen des valeurs (H), que

A.j^— — /r.Aft,, A. 2 = A-.Ac..

On en lire

VI j^ -"?!— L — ^

^ A«,~-AA."'Âe. ""a'

L'inspection de ces valeurs nous fournit l'énoncé suivant :

Lorsque^ dans un système de n équations linéaires à n in'connues^ les seconds membres de n — i de ces équations sont nuls, les valeurs des inconnues sont proportionnelles aux muU iiplicateurSydans A, des coefficients qui affectent les inconnues dans l'équation non homogène.

La résolution des équations proposées se trouve ainsi ramenée à celle des équations (V).

§ II. — Résolution des équations linéaires homogènes.

131. Condition pour que n équations homogènes du premier degré à n inconnues soient compatibles. ~- Les équalions (i) du n° 121 seront homogènes, si l'on a en même temps

kx r= fra = /l's = O.

Si ces conditions sont remplies, le système (i) du n® 121 se réduira au suivant:

IUiX -h bijr-i- CiZ = 0, OtX -T- b^y ■+- CiZ = o, ^ a^x -h kiX -H c, 3 ~ o.

DosTOE. — Déterm, ^

g8 LIYRB II. — CHAPITRK II.

Les égalités (V) du n** 130 subsistent, quel que soiti^i; elles auront donc encore Heu si ki = o, ce qui exige que Ton ait

A = o ou bien

a, bx c, I

Donc, pour que n équations homogènes du premier degré à n inconnues soient compatibles^ il faut et il suffit que le déterminant des inconnues soit nul.

Si ce déterminant A était différent de zéro, il faudrait que Ton eût à la fois x ■=zy = z = o.

Nous voyons en même temps, par les égalités (V) du n* 130, que :

Les valeurs des inconnues sont proportionnelles aux multiplicateurs, dans A, des coefficients qui affectent les inconnues dans l'une quelconque des équations proposées.

132. La condition (I) peut d'ailleurs se déterminer directement de la manière suivante :

Multiplions la première des équations (i) par le déterminant mineur (620,), la seconde par — (friCa) et la troisième par (biCi) et ajoutons; nous formons ainsi l'équation