DE CELUI DES INCONNUES
13&. Condition pour que n équations non homogènes dn premier degré, kn^-i inconnues, soient compatibles. — Soii donné le système des quatre équations à trois inconnues x,
a, j: -h bjjr -+- c, z 4- A"» = o,
GiX -\- 63/ -4- Cs 3 -f A*3 = O,
ûtX -h bijr -4- C4 2 -h Ar* =: o,
que nous supposerons simultanées, c'est-à-dire admettant pour X, Xt z un même système de valeurs. Nous pouvons rendre ces équations homogènes, en y remplaçant les inconnues par leurs rapports à une quantité arbitraire u; elles de*
viennent ainsi
UiX -f- bty -\- c,3 -h A'.iimo,
a^x H- b^x ^- Ca^ -\'kiU:=Oy
OiX -f- 63^^ -\-CiZ -hkiU = o,
OiX -\- b^jr -h CiZ -^ ktU = o.
Celles-ci, en vertu de la condition établie au n"* 131, ne| sont compatibles que si le déterminant des inconnues est nul, c'est-à-dire si Ton a
If,
Ct
lu
Donc :
Pour que n équations non homogènes du premier degrés à n — I inconnues, soient compatibles, il faut et il suffît quon
ïfiSOLUTION DES ÉQUATIONS LlNÉÀlUES. lOI
obtienne zéro pour la valeur du déterminant des mêmes équa^ tions rendues homogènes,
i35. Deiudème méthode pour résoudre un système de // équations non homogènes du premier degré, à n inconnues. — Soit à résoudre le système des trois équations à trois inconnues
la)
fl, x -h b^jr -\- c^z -\- d^= o, a^x -^ b^y -^ c^z-h <i^= o,
Nous pouvons adjoindre à ce système Téquation du premier degré à trois inconnues
ax
où les coefficients a, ^, 7 et ^ sont encore indéterminés.
Si nous supposons que Téquation ( 3 ] soit satisfaite par les valeurs des inconnues x^jr^ z qui vérifient le système (2), nous aurons un système de quatre équations (3) et (2) à trois inconnues jt, j, z, lesquelles équations devront admettre les mêmes valeurs pour ces inconnues.
Or ces équations, d'après la condition établie au numéro précédent, ne Seront compatibles que si leur déterminant
e^t nul, c'est-à-dire si
ou Ton a
aD.— ^D„
7D^— Oi
di
dz
Tj
Cj
11 s'ensuit donc que, les coefficients a, p, 7, $ devant satisfaire à la relation de condition (4)) si trois d'entre eux, a, ^ et 7, restent indéterminés, la valeur du quatrième S sera fournie par l'équation (4) et se
lOa LITRE II. -- CHAPITRE 11. — RÉSOLUTION, ETC.
trouvera exprimée en fonction de «, ^, y et des coefficients donnés des équations (2).
Cela étant, éliminons 9 entre (3) et (4) ; nous obtenons l'égalité
Celle-ci, devant être satisfaite quels que soient a, p et 7, exige que ron ait ^ ^
Ce qui fournit, pour les inconnues, des valeurs qui deviendront identiques avec celles du n** 121, si l'on a soin de remplacer d^, d^, d^ par
LES RÉSULTANTS. Io3
