CHAPITRE m

LES RÉSULTANTS

$ 1. Résultante de deux équations algébriques. — § U. Méthodes d'élimination entre deux équations. — § lU. Calcul des racines communes à deux équations. — § lY. Calcul des racines doubles d'une équation. — § Y. Les différences des racines d'une équation. — § VI. Résolution de l'équation du troisième degré. — § VIL Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

§ I. — Résultante de deux équations algébriques.

136. Définition. — Étant donné un système de n équations non homogènes entre n — x variables, si Ton combine ces n équa* lions entre elles, de manière à éliminer lesn — i variables, on obtient une équation R = o, dont le premier membre ne eoniient que les coefficients des n équations données. Le premier membre R de cette équation résultante a été nommé par Bezout le résultant ou l'éliminant du système donné [Histoire de l'Académie de Paris, 1764, p. 288), et Téqualion elle-même R = o porte le nom de résultante [œquatio finalis genua).

C'est en cherchant la résultante de n équations du premier degré à n — i inconnues ou celle de deux équations algébriques à une inconnue que Leibnitz a découvert les déterminants (OEuvres mathématiques de Leibnitz, publiées par Gerhardt, t. II, p. 289 ]•

La résultante forme une relation entre les coefficients du système donné; elle exprime la condition pour que les équations proposées soient compatibles, c'est-à-dire pour qu'elles puissent être satisfaites par un même système de valeurs attribuées aux inconnues.

Io4 LimB II. — CHAPITRE III.

137. Résultante d*un système de deux équations dn premier degré à une inconnue. — La résuUante des deux équations

s'obiient en éliminani la variable x entre ces deux équalions. Or, en vertu du théorème du n** 134» ces équations ne seront compatibles que si le déterminant de leurs premiers membres est nul. On trouve ainsi Téquation

I — o, ou «6' — 6a' = o, ' a' b'

qui est la résultante demandée.

138. Résultante d'un système de deux équations du second degré |à une inconnue. — Pour avoir la résultante du système des deux équations

ax"" -^^ bx-r- c — o, a'x^-h b'x -\- c' — o,

on multiplie la première par a', la seconde par a, et Ton retranche le premier résultat du second; on obtient ainsi l'équation

( ah' — ba)x — ( ca' — ac' ) ^- o ;

elle donne pour x la valeur

ca' — a&

^^ ab'- ba''

qu'il sufOt de substituer dans Tune des deux équations donnéesy pour avoir l'équation résultante

( ca' -ac'Y "■ ( ab^ —ba')[ b& -cW) — o.

Cette équation exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations proposées soient compatibles, c'est-à-dire pour qu'elles aient une racine commune. La racine commune est

ca* — ac' bc' — cV aO' — ba' va' — ac'

LIS EfiSULTANTS. Io5

139. Résnltante d'un système de deux équations algébriques i une inconniie. — Soient données les deux équations

(2) r (x) --^ b,a^ -H b.af-' f- b^x^'^ h- . . . -h ^„, x -+- ^, ==. o,

Tune du degré m et Tautre du degré n, n pouvant être égal à m. Nous allons déterminer la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux équations aient une racine commune.

Âdoaettons qu'on connaisse les m racines de Téquation (i) et soient 2„a,, ...,a^ ces racines. Si toutes ces racines sont finies, le coefficient a^ sera différent de zéro et Ton aura

Ponr que Tune des racines a,, a,, . . . ,a^ satisfasse à Téquation (2], il faut et il suffit que Fun des résultats

soit nul, ce qui exige que Ton ait

Réciproquement, si ce produit est nul, Tun de ses facteurs se réduit Qéoessairement à zéro; par suite, Tune des racines de Téquation (i) satisfait à l'équation (2).

Ainsi, pour que V équation f[x) = o, doni les racines «,,«»,.- .,a|„ sont différentes de V infini ^ ait une racine commune avec V équation ^fj) = o, il faut et il suffit que le produit

soit égal à zéro.

On verrait de même que l'égalité

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que Tune des racines ^M Pr • - • 1 ^«t supposées finies, de l'équation (p(x) = o satisfasse à l'équation/(x) = o.

1 iO. Cas où les deux équations admettent 1 une ou toutes les deux des racines infinies. — Supposons que la racine a, soit infinie. Au lieu de

substituer a, dans l'équation 7 (x) = o, on remplace l'inconnue par — dans

l'équation aux inverses /"y f - j — o.

I06 LIYRB II. — CHAPIT&B III.

Le premier membre résultant ^^-^ i ayant ses deux termes infinis, est

indéterminé ; on calculera donc la vraie valeur R^ de ce rapport et Téquation R, = o exprimera la condition pour que la racine a, satisfasse à l'équation <p (x) = G.

Il s'ensuit que, si l'équation /(x) = o admet plusieurs racines infinies a,, o,, ..., ttj, pour qu'elle ait une racine commune avec TéquatloQ ^ [x) = o, il faut et il suffit que l'on ait

Or on sait que

selon que m est pair ou impair, de sorte que

gîg;...xî ^^

par suite, la condition précédente revient à l'égalité

où l'on peut diviser le premier membre par le produit

fit

qui est fini et différent de zéro; donc l'équation

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations données (i) et (2) aient une racine commune (* ). Mais nous avons trouvé que Téquation

( ' ) Cette démonstration suppose que toutes les racines oCj^i, ocj^,, ..., x^, quin« sont pas infinies, soient toutes différentes de zéro. Si l'une ou plusieurs d'entre elles étaient nulles, on conçoit qu'en modifiant les coefficients de (1) et de {2) on puisse rendre ces racines différentes de zéro (144, i^). Or le théorème est vrai pour des racines très-petites; donc il existera encore, à la limite, pour das racines nulles.

LIS R£SULTAlfT8. IO7

ex|>rijiie la condition pour que les équations données aient une racine o}mmunei lorsque Téquation (i) n'admet que des racines finies ; comme dans ce cas le coefficient a^ est différent de zéro, on voit que cette deuxième équation de condition est une conséquence de la première (3). Donc, quelle que soit la nature des racines «,,«,, , . ., x^de Véqua^tian f(jc) = o^ la relation

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations /(x) == o et f (x) = o admettent une racine commune. On verrait de même que la relation

exprime la ^ême condition , et cela quelles que soient les racines

?iî Pi»- • • » ?■ de l'équation «p(ar) = o.

14^1. Les deux produits R et R, ne diffèrent que par un facteur constant^ attendu qu'ils expriment chacun le résultaol du système des deux équations (i) et (2).

Pour le prouver, d'ailleurs, prenons les deux identités

<p [x] =^b.[x- 3.) [x - ?,). . . (^ - p«), f[x) =ia.[x— a,) ':r — a,) . . . [x — a«);

dans la première, remplaçons x successivement par les racines atf as, . . ., a» de Téquation f[x) = o, et dans la seconde remplaçons x successivement par les racines Pi, (S^, . • . , P« de l'équation 9 [x) = o. Si nous faisons chaque fois le produit des résultats, nous obtiendrons les deux égalités

t=b. (a. - p.) (a, -?,)... >, - (3,) X b. (a,— ?.) (a,— ?,)... (a, - jS.)

X ft. (a«— ?t) (a«— ?,)... >«- i3„), Q=a. (p, - a.) ((3, — aO . . . [p. — a«)

Dans les deux produits P et Q, les facteurs binômes sont