I08 LITRE II. - CHAPITRE III

respectiveroent égaux et de signes contraires; ils sont au nombre de m fois n dans P et de n fois m dans Q, c'est-àdire de mn fois dans chacun d'eux. Les autres fa cteurs 6^ de P et a; de Q deviendront égaux^ si l'on multiplie P par a; etQ par 67; donc on a

ou, en ayant égard aux expressions (I] et (II),

Ainsi les deux résultants R et Ri ne diffèrent que par un facteur constant, qui est 4-1 om — i, suivant que le produit mn est pair ou impair.

441 bis. Applications. — i*" Reprenons les deux équations du second degré à une inconnue du n** 138, et soient a et ^ les racines de l'équation

ax'-t- Ajr -h r = o,

a' et ^' celles de la seconde

Le résultant a;P sera ici

or on sait que

a'P'=-,, a'-^ ?' = --,, d'Où a^+f^'^? ^;

par suite on trouve que

R = rt»c'>- abb'd-^ ac(b'^- la'c') -h //«V- bca'b'-^ v'^a'^ ou

pour le résultant de nos deux équations.

Ce résultat a été obtenu plus rapidement au n** 138 par rélimination directe de x entre les doux équations données.

a*" Considérons encore Téquation du troisième degré

LIS RtSULTANTS. IO9

et sa dérivée

Si nous désignons par a, b, c les trois racines de la première et par a, — a celles de la seconde, le résultant des deux polynômes /(x) et/'(jr) sers

en remplaçant a* par sa valeur — t* Nous avons donc

R = (^ cY(c- aY(a - 6)»- 4/^ -H 27 y^ ^^

Cette égalité prouve que l'équation du troisième degré a;^ -h px -t- q = o i"" a ses racines réelles, si la quantité 4/^+ ^7q* est négative; a*" a deux racines égales, si cette même quantité est égale à zéro.