Nature dn résultant de deux éqnationB à une inconnue

Nous voyons, par les expressions (I) et (II) du n^ 140, que si l'on connaissait les racines de deux équations (i) et (2), on pourrait mettre leur résultant sous deux formes distinctes.

Considérons la première forme

qui est exprimée en valeur des racines de l'équation (i). La quantité 9 (a,] y est une fonction algébrique rationnelle et entière du premier degré des coefficients b^, 6,, . . ., ^m ^^ l'équation çp(x) = o; de mdme ^(z,) est une fonction algébrique rationnelle et entière du premier degré des mêmes coefficients, et ainsi de suite. Le produit de ces m focteurs de R sera donc une fonction algébrique rationnelle et entière du m^*^ degré des coefficients de Téqualion (2).

Si nous considérons la seconde forme

qui est exprimée en valeur des racines de Téquation (2], nous voyons que /(p,) y est une fonction algébrique rationnelle et entière des coefficients /7,, a,, . . ., a„ de réquation/(x) = 0; il en est de môme des n — i facteurs suivants; par suite, le produit de ces /i facteurs est une fonction algébrique rationnelle et entière du /?**°** degré des coefficients deVéquation (1).

no UTBI II. — CHAPITIB III.

Or les deux expressions R et R, diffèrent tout au plus par le àgne. Donc le résultant de deux équations à une inconnue, l'une du m*^ et VatUre du nf"^ degré, est une fonction algébrique, rationnelle et entière des coefficients de ces deux équations; il est du «**• degré par rapport aux coefficients de la première équation et du ni^ degré par rapport a ceux de la seconde,

143. Réciproquement, lorsqu'une fonction algébrique, rationnelle et entière A est du m'^* degré par rapport aux coefficients d'une équation du n^^ degré i^(x) = o^ et du nP'^ degré par rapport aux coefficients d*une équation du rr^ degré f[x) = o, si de plus cette fonction À s^ohnule chaque fois que les deux équations ont une racine connue, A ne diffère du résultant R que par un facteur numérique; en d'autres termes, la fonction A est le résultant des deux équations f(x) = o er f (jt) = o.

Considérons, en effet, Tun quelconque des coefficients de l'une deà deux équations f(x) = o et çp(x) =z o, on (i) et (a), par exemple le GoefGcient a. de la première.

La fonction A est un polynôme du degré n par rapport ka^; le résultant R est aussi un polynôme du même degré en a^.

Soient a\y ifi^ .,,y of^ les n racines de Téquation R = o, que Ton obtient en égalant à zéro le résultant R considéré comme une fonction de ^j. Toutes les fois que a^ sera égal à I*une des n racines de cette équation R = o, le résultant R sera nul; par suite les deux équations (i et (2) ont une racine commune; donc la fonction proposée A s'annulera aussi.

Ainsi la fonction A devient nulle pour toutes les valeurs de a^ qui annulent le résultant R ; d'ailleurs A et R sont du même degré par rapport à ^7^; ils ne diffèrent donc que par un facteur indépendant de ^f.

On verrait de même que la fonction A et le résultant R ne peuvent différer que par des facteurs indépendants de tout autre coefficient de f(x) et 7(-r); donc la fonction A est, à «n facteur numérique près, le résultant des deux équations (i) et (a).

144. Propriétés du résultant de deux équations à une inconnue. i" Le résultant R ne change pas lorsqu'on cliange x en x -h à dans Us deux équations; car cela revient à diminuer toutes les racines des deux équations d'une même quantité h^ ce qui ne change pas les différenoe> a, — P,, a, — p,, •••>««—?« entre les racines de la première équation et celles de la seconde, et par suite n'altère pas les valeurs de P et de 0-

a*' Le résultant R ne change pas non plus hrsqi^on remplace x par

- flans les deux équations; car la différence entre une racine a^ de la

LIS itSDLTANTS. III

première équation et une racine Pj de la seconde devenant

«i Pj «ifcle nouveau produit P' sera égal à la m^*^ puissance du nouveau premier

coefficient 6. de 7^ - j par

Or dans celte fraction le numérateur est égal (139) à ' — ^ et

le dénominateur est égal à =t — 7— : donc on a

il Tiendra donc pour le nouveau résultant

R = (^^Y'= d= {- i)-«û;P = rfc R.

Donc le résultant change tout au plus de signe.

§ II. — Méthodes d'élimination entre deux équations