ALGÉBRIQUES
U5. Méthode d'élimination d'Euler (']• — Lorsque deux équations f[x) = o, f(x) = o, des degrés m et n, admettent une racine commune o? = a» leurs premiers membres sont divisibles par x — a; par conséquent, si Ton multiplie /(o;) par le produit des n — i autres facteurs de <p(:r), et 9(0:) par le produit des m — i autres facteurs de/(x), on devra obtenir des résultats identiques.
Il s'ensuit que, si Ton multiplie f[x) par une fonction arbitraire de x du degré n — i, qui y introduit n constantes arbitraires; puis <p{x) par une fonction arbitraire de x du degré m — i, qui y introduit m constantes arbitraires; et que
'') Hisioîfe de V Académie de Berlin, 1764, p. 9(>*
lia LITRB 11. — CHAPITftB III.
l'on égale terme a terme les deux fonctions de degré m-h n — i ainsi formées, on aura m-¥- n équations homogènes et du premier degré par rapport aux m + n constantes introduites.
Pour que ces m + n équations soient compatibles, il faudra que leur déterminant soit nul (131). On obtiendra ainsi la résultante des deux équations données.
Supposons que les deux équations
ax*-^ bx -i- c:^o, a' x^ -h b' X -h c' =:^ o
aient une racine commune. Nous devons avoir identiquement, quel que soit x,
(A'^-+-B') [ax^-h bx -^ c) =z [Ax -hB) [a'x'-i- b' x -+- &
ou
(A'a-Aa')ar»-f-(A'6-f-B'a — A6'— Ba )x»
-+- (A'c-*- B'6 — Ac'— B6')x -f- B'c- Bc/^r o.
Égalant à zéro les coefficients des différents termes en x, nous formons les quatre équations homogènes
— Atf
-Ba'-
-Af*-
-Bc'-
entre les quatre inconnues A', B^ ~ A et ~ B. Éliminant ces constantes, on obtient l'équation résultante
ou
( 1) (ca'— ac*')'- (ai'— 6a') (6c'— c6') =-- o;
c'est la condition déjà trouvée aux n*"* 138 et 141 bis.
LIS BÉSULTAIITS.
Il3
146. Méthode d'élimination de M. Sylvester ( * ] . — Dans la méthode diafyiique du géomètre anglais» les puissances de la variable x sont traitées comme autant de variables indépendantes. Pour la faire comprendre» il nous suffira de l'appliquer à un ou deux exemples.
Proposons-nous d'éliminer jt entre les deux équations
ax*-{- ftjT -h c = o, a'x^-^ b'x -f- d.
Multiplions chacune de ces équations par x^=^xeix*=: i\ nous formons les quatre équations
b X' Vx^
-f-fc'x'-HC' =
entre les trois puissances successives x% :r% x de la variable ^. Si nous considérons ces puissances comme autant d'inconnues» nous aurons un système de quatre équations du premier degré entre trois inconnues. Ces équations ne seront compatibles que si leur déterminant est nul (134); nous trouvons ainsi la résultante
qui est identique avec celle du numéro précédent.
