Soit encore à éliminer x entre les deux équations

a^-^bx^-^-cx -f- d=Of afx^ -hb'x -h(/ = o.

H. Sylvester multiplie la première équation successivement par x^ et x^ et la seconde par x% x* et x*, ce qui lui

;*) Phiiosophical Magazine, i84o, n^ 101, et Journal de Crelle^ t. XXI ,

DosTOB- — Déterm.

Il4 LIVRE a. — CHAPITRE III.

fournit les cinq équations

ax^-hbx^-hcx^-hdx == o, a x' -4- A j;* -f- c ^ -f- rf -- o,

a'x*-^b'x-h& = Oj

entre les quatre inconnues x*, x*^ x^ et x. Éliminant ces inconnues, on obtient l'équation de condition

448. En général, supposons qu'il s'agisse d'éliminer x entre les deu\

équations

aaf^ H- hoT'^ -H ... -h /x -+- / = o,

dont l'une est du m**"' et l'autre du «**^ degré. On multiplie la première par les puissances successives de x

M» * «4* • • • • • %/U tt «A» I «Ar A

et la seconde par les puissances successives de x

«w«ffl*l 4mIN""Z <m3 mI ^fM •

%Mé I M^ » • • • * Mv I «4* • «Ar .

on obtient ainsi m-^n équations entre les //i -h /i — i puissances successives

x"^-', x*^-', . . . , X*, x' de X.

Éliminant ces m + /z — i puissances de x, considérées comme autant d'inconnues distinctes, on trouve la résultante des deux équations proposées.

149. Méthode d'élimination de Bezoiit('). — Cette méthode donne aussi le résultant sous la forme d'un déterminant; mais

(*) Histoire de V Académie de Paris, 176^, p. 29B et 317.

LES RÉSULTANTS. I l5

le déterminant affecte une forme plus simple» qui en rend le calcul plus facile.

Pour en faire saisir l'esprit, nous l'appliquerons au cas particulier des deux équations du troisième degré

ax^ -h ta;* 4- ex 4- J = o, a'x^ -f- b'x^ -f- c'x -^d' = o. On multiplie ces deux équations successivement par

a' et Gy

a'x-h b' et aar-4-6,

a'x^ -f- b'x -h c' et ax* h- 6a; -f- c,

et Ton retranche chaque fois les deux produits obtenus; on forme ainsi les trois nouvelles équations

[ab')x'' -f-(ac')x -+-.(at/') = 0,

[ac']x^-^[[ad') ■+- [bc')\x-^ [bd] = o, [ad ]x^ '¥[bd]x -h (c J' ) == o,

qui, par l'élimination de x^ et Xy donnent Téquation résultante

[ab') (ac') [ad]

[ac') (arf')-+-(6c') [bd]

, [ad] [bd) [cd]

du système donné.

La méthode de M. Sylvester aurait donné le résultant sous la forme d'un déterminant de sixième degré

150. Méthode d'élimination de M. Gayley (' ). — Cette méthode nVst

r*) Philosopliical Transactions, i853, p. 5i6, et Journal de Crelie, t. LU, p. 5;; t. Lllf, p. 366.

Il6 LIVRE II. — CHAPITRE III.

qu'uoe modification de celle de Bezout et fournit la même forme pour le

résultant.

Supposons que les deux équations /(x) =Oyrf(x) =o admettent use

racine commune ; il sera possible, dans ce cas, de satisfaire à réquatioo

f{x'\ f(x)-\-\(f{x), quel que soit X; par suite, si nous posons X = --7-r'

réquation qui en résulte

devra être vérifiée pour toute valeur de x^.

Gomme cette dernière équation est satisfaite par x = x\ nous pouvons d'abord diviser le premier membre par x — x'; puis égaler à zéro les coefficients des diverses puissances de x' dans le quotient; enfin éliminer les puissances successives de x, comme si elles étaient des variables indépendantes.

Soit à éliminer x entre les deux équations du second degré

ax^ -h bx-i-c = Oy a'x^ ~hb'x-i-c'= o.

Nous formons Téquation

(ax'-h bx-i-c) (a'x''-^b'x'-h c') - (aV-h b'x-i-c') (ûx'»-4-6x'-H<r) =o.

qui, après réduction, devient

(ab''^ba')(x-x')xx'-h(ac' — ca'){x^—x")-^{bc' — cb'){x^jc') = o:

divisant par x — x* et ordonnant par rapport à x'', on la change en

[{ab'—ba')x-^{ac''-ca)]x'-h(a(/ — ca')x-+-(bc*-cb') = Q.

Celle-ci, devant être satisfaite pour toute valeur de x\ exige que Ton ait

{ac'— ca')x-+'(bc' — cb') = o ou (rtc')x-H (6c') = o, (ab'—ba')X'+-(ac'-'Ca')=o ou (ab')x-^{ac') = o.

On en tire l'équation résultante

[ac') (bc')

[ab') (ac')

qui revient à

(ac^y'^{ab'f(bc')==o.

151. Méthode d'élimination de Canchy ('). — Ceue méthode n'est que celle de Bezout perfectionnée.

(*) Càocst, Exercices d'Analjrse, i84o, p. SgS.

LES RÉSULTANTS. II7

Considérons d'abord deux équations du même degré, du troisième par exemple, telles que

Si entre ces équations nous éliminons la puissance la plus élevée x* de l'inconnue, nous obtiendrons l'équation du second degré

[ab' — ba') x^ -h [a(/ ^ cd)x'^ad' — da' = o, ou, en suivant la notation abrégée du n^ 17 bis,

» (ab') X' -h [ac' ) x + [ad') = o.

On peut mettre x* en facteur commun dans les deux premiers termes des équations (i), et les écrire

{ax-^b)x^-^ ex -hdz=o, (afx-h b')x^-hc'x'¥' €t = o.

Si nous éliminons x\ il nous viendra (17 bis)

(3) (ac')x^-h [{ad') -h {bc')]x -^ (bd') = o.

Enfin nous pouvons mettre x en facteur commun dans les trois premiers termes et mettre les équations (i) sous la forme

[ax^ -h bx -h c)x-hd=o, [a'x*-^ b'x-h c')x-hrf' = o.

Eliminante, on obtient

i4; {ad')x^-^{bd')X'{-{cd') = o.

Nous avons ainsi formé trois équations (2), (3] et (4)9 qtii doivent être vérifiées par la racine commune aux deux équations (i}. Pour que ces trois équations

(ab']a:' -i- {ac') x ■+■ [ad!] = o, (ac'jx'-h [[ad'] + {bc')]x-\-[bd') = o, [ad')x^ + [bd'] X -t- [cd] = o,

entre les deux inconnues x^ et x, soient compatibles, il faut et il suffit qu'on aille déterminant

(«6') [cu^] (ad')

[ac') {ad')-^(bc') (bd'] =o.

(ad'] (bd') (cd']

Il8 L1VRB II. — GHAPITBE III.

C'est la résultante du système (i). Le premier membre est un déterminant symétrique.