S REC13EIL B EXERCICES

80. Déterminer quatre forces P, Q, R, S agissant à chacun des sommets d'un tétraèdre perpendiculairement à la face opposée, de façon qu elles se fassent équilibre.

Soient a, A, c, rf les aires des faces du tétraèdre ABCD; chacune est ëgale à la somme des projections des autres sur elle-même :

' a — b cosGD — c cosDB — r/cosBC := o,

\ h — c cosDA — rfeosAC — a cosCD ~ o, (i) {

c — ci cosAB — a cosBD — b cosDA = o,

d — a cosBC — b cosCA — c cosAB = o.

Projetons les forces P, Q, R, S sur chacune déciles successivement, et observons que Tangle de deux d'entre elles est supplémentaire du dièdre formé par les plans auxquels elles sont perpendiculaires; nous aurons quatre équations ne différant des précédentes que par le changement de a en P, i en Q, ... ; on en conclut

Chaque force est proportionnelle à Taire de la face à laquelle elle est normale.

Pour que l'équilibre soit assuré, il faut encore prouver que la somme des moments des forces par rapport à trois droites formant trièdre est nulle. Considérons Tune des arêtes du trièdre A, AB par exemple. Les moments de P et de Q sont nuls ; pour évaluer le moment de R que je représente par ^c, j'abaisse CH perpendiculaire sur le plan A6D, et dans ce plan HI perpendicidaire à AB; le moment de R

3V est ^cxHI, mais, V étant le volume du tétraèdre, c= -— ;

CH

3VX le moment devient — — -HI = 3X cotAB. On verra que le

moment de S est le même en valeur absolue, mais de signe

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 6g

contraire. La somme des moments des forces par rapport à AB, AC, AD sera nulle de la même manière.

Remarques. — Puisque quatre forces dirigées suivant les hauteurs d'un tétraèdre peuvent se faire équilibre, ces hauteurs sont sur un hyperboloïde.

Le déterminant des équations (i) égalé à zéro donne la relation entre les six dièdres d'un tétraèdre.

Équilibre de plusieurs corps.

51 . Une enveloppe sphérique homogène, de centre C et de poids P, est placée sur un plan incliné quelle touche en A, et renferme à son intérieur un petit corps M de poids Q, qui est attiré vers un point O du plan incliné avec une intensité proportionnelle à la distance ; position d'équilibre du système.

Je dis d'abord que C et M sont dans le plan vertical qui contient la ligne de plus grande pente du point O^ car supposons M lié invariablement à la surface sphérique : l'équilibre n'est pas troublé. Or le système est en équilibre sous l'action de trois forces, l'attraction de O qui s'exerce suivant OM, la résultante verticale de P et de Q, enfin la réaction normale du plan en A : ces trois forces sont donc dans un plan qui est vertical et contient les droites OM , AC normale au plan donné ^ OA est donc une ligne de pente de ce dernier plan.

Soient maintenant OA = x, ACM = 0, N la réaction du point M sur la sphère, les coordonnées du point M par rapport à OA et à une perpendiculaire en O sont

x — Rsinô et R(i — cosG);

les composantes de l'attraction de O sont de la forme À(x — R sinô), XR(i — cosô) ^ on a pour l'équilibre de M,

*jO RECUEIL D EXERCICES

en désignant par a Tangle du plan donné avec l'horizon,

— > (.r — R sin 9 ) -f- Q sin a -h N sin 0 =: o,

— > R ( I — cos 0 ) — Q CCS a -h N cosÔ = o.

La sphère est sollicitée par trois forces, N, P et la réaction en A, qui se coupent en C; projetons sur OA

Psina — N sinÔ = o.

Eliminons N entre cette équation et chacune des deux premières :

(P -h Q) sina — X(a? >- R) sinO = o,

Psina cosO — Qsindcosa — XR(i — cosO)sinO = o.

La première donne x quand on connaît d, et cet angle est déterminé par la dernière^ prenant pour inconnue

tang - 0 = u, elle devient

Psinaii^H- 2 (XR -r- Qcosa)w^-4- sQcosau — Psina = o.

Cette équation et sa transformée en — u ont chacune une variation ^ il y a précisément une racine positive et une négative, et la substitution de i et de — i montre que la première racine est entre zéro et i, la seconde entre — I et — 00 ^ il y a deux positions d'équilibre : pour Tune B est <^ 90*^, pour Tautre, il est entre 180 et 270 degrés. Si P est beaucoup plus grand que Q, u se rapproche de i et de — 1 , d de 90 ou de 270 degrés.

52. Une tige AB, de poids P, est mobile autour de son . extrémité A, et soutenue à Vautre par un fil de niasse négligeable et de longueur l] ce fil passe sur deux trèspetites poulies C et D, la première située verticalement au-dessus du point A, et se termine en H oà il soutient l'extrémité d'une chaine pesante, de longueur X, parfai-

SUR LÀ MÉCAHIQUE BATI09IfELLE. ^I

tementjlexible, et dont l * autre extrémité est attachée en un point fixe E sur la ^verticale de la poulie D. On donne la distance AG = h du point A au centre de gravité de la barre AB et le poids q de l'unité de longueur de la cliaîne £H, et l'on demande la position d'équilibre du i>rfème (Agrég., 1871.)

Soit I rextrémité inférieure de la chaîne \ la longueur HI que le fil a à porter s'obtient en évaluant de deux manières la longueur Dl :

DI = DH-hHIr=DE-l-X— HI, HI = - (DE -4- 5i — J>H ),

et la tension du fil sera T = ^^(DE-h X — DH). Le fil

devant tenir la barre AB en équilibre, le moment de sa tension par rapport à A est égal au moment du poids de AB \

T X AC sinAGB = Vh sinCAB.

Mais, dans le triangle ABC,

sinCAB CB ^ ^ PACB

5 donc T =

sinACB AB' AB X AC

D'ailleurs BC = / — DC — DH; donc on a, en reprenant la première valeur de T,

ly(DE-4-^-DH):z.^A^(/^DC-DH),

d'où

2P^(/--CD)— <yAB.AC(DE^->) *" 2PA — <7AB.AC

La valeur de DH donnera la forme du système. Pour que le problème soit possible, il faut que DH soit positif et inférieur à DE 4- X, et aussi kl — CD — ( AC — AB), en prenant pour cette parenthèse sa valeur absolue. Un cas re-

inarquable est celui où Ton a

aP^zrr^AB.AC, / — CD=:DE-+-)l;

DH est de la forme ^» c'est-à-dire que le système sera en

équilibre pour toutes les inclinaisons de la droite AB. On trouve là le principe d'un système de ponts-levis, dits à contre-poids variable, dû au général Poncelet.

53, Trois sphères égales, de poids P, de rayon a, sont attachées à un point fixe O par des fils de longueur /; sur ces trois sphères, on en pose une autre de poids Q et de rajon h ; déterminer les conditions d'équilibre du système en supposant les centres des trois sphères soutenues dans un plan horizontal.

Soient A, A', A'' les centres des sphères de rayon a, B le centre de la quatrième ; il peut arriver que les sphères A, A', A" se touchent, et que chacune soit en équilibre sous Faction de son poids, du fil qui la soutient, de la pression N exercée par les deux sphères de même espèce et la pression Ni de la sphère B ^ ou bien les sphères ne se touchent pas et les forces N n'existent plus.

Soient, dans le premier cas, a et (3 les angles de OA et de BA avec la verticale; les points A, A', A'' forment un

triangle équilatéral dont le rayon est ^; on a

— -» sin B := .

Les pressions exercées par A' et A'' sur A se composent en une force N ^3, horizontale, passant au centre A et située dans le plan AOB; pour l'équilibre de A, il faut annuler la

somme des projections des forces qui le sollicitent sur la perpendiculaire à OA dans le plan A06 :

P sin ff — N, sin ( p — a) — N y^ cosa = o.

L'équilibre de B s'obtient en projetant les forces qui le sollicitent sur une verticale : Q — 3Ni cos(3 = o. Substituons Ni dans la précédente :

^ . Q sin(8 — a) ^^ ,- P sma — ^ ^-^—^ ~ — N V3 cosa -: o.

3 cosp

Pour que l'équilibre soit possible dans les conditions supposées, il faut que N soit positif, ce qui donne

SPsinacosp — Q(siQpcosa — cospsina)> o,

j [/»— («-+-^)':Q»— 2[3(a4-6)»— 4a>]PQ j 3[3(«-f.^,)î-4a']P'<o.

n faut que Ton ait / > a -f- A ; on aura en outre

(a-\- b) ^3"^ la;

sinon la sphère B passerait entre les sphères A, A', A'', et ne pourrait être soutenue. La seule condition pour que l'inégalité (i) soit satisfaite est que Q soit inférieur à la >aleur positive qui annule le premier membre.

Supposons que les sphères A ne se touchent pas, et soit 2x la distance de leurs surfaces, en sorte que les côtés du triangle A A' A'' soient 2(aH-j:)^ les formules trouvées pour le premier cas se modifient d'une façon très-simple ;

on trouvera

sina = — ^^ — — > sm B :== — ^ '- j

3 cosp 3cosp

On en tire

{a -hxj'nr 7 (a-f- b)

4^ ' 4 p»-f-2PQ

On reconnaît que, P étant constant, a-hx diminue quand Q augmente^ pour Q = o, on a

tfH-j?=: — («-+•©), dou 8=:-:

B est dans le plan A A' A" ; Q pourra augmenter jusqu'à ce qu'on trouve j:=: o, et alors il a précisément la plus grande valeur qui satisfaisait à l'inégalité (i); quand Q est inférieur à cette limite, il y a deux positions d^équilibre \ audelà, il n'y en a plus.

54. Un segment de paraboloïde de résolution dont l'axe est ^vertical et le sommet en bas repose sur deux plans également inclinés, qui le tiennent en équilibre; si on le suppose partagé en deux moitiés par le plcui vertical qui contient l'intersection des deux plans fixes, quelle hauteur peut-on donner au segment sans que les deux parties se séparent? ( Waltow ) .

Soient O le sommet du paraboloïde, A le point où son axe coupe la base du segment, OA =• ^, C, C les points de

SUH LA MÉGAINIQVE RÀTIOVUELLE. y5

cx>nUct avec les deux plans, i l'inclinaison de chacun de ces plans ; je prends OÂ pour axe des z^ le plan de séparation des demi-segments pour plan des^z, et une perpendiculaire en O pour axe des x. Le centre de gravité du volume OAC est situé dans le plan xz, et Ton obtient son abscisse en décomposant le volume en tranches parallèles à ZOY ^ on trouve aisément

Les coordonnées du point de contact C sont p tangi, zéro,

-/?tang'i^ la réaction normale du plan rencontre la verti-

cale du centre de gravité en un point H dont le z est

z := - p tang'/ — (a:, — p tang/)cot/

r= - p^i -f- tang*/j ^ - ^iph cot/.