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Les deux parties exercent l'une contre l'autre une pression qui est nécessairement horizontale, et dont le point d'application est entre O et Aj la pression exercée sur lun des solides doit faire équilibre à son poids et à la réaction du plan sur lequel il s'appuie; ces deux dernières forces ont une résultante qui passe en H, et qui, pour une valeur convenable de la réaction du plan, est horizontale; mais, pour qu'elle puisse détruire l'action du second solide, il faut que z' soît ^ o ;
— < -r--(2tangi -h tang^/).
On a ainsi la hauteur maximum compatible avec l'équilibre.
y6 RECUEIL d'exercices
55. Déterminer la forme d'équilibre d'un polygone plan ABCDEF dont chaque côté est sollicité par une force qui lui est perpendiculaire, appliquée en son milieu et proportionnelle à sa longueur.
Cette équation, résolue par Fuss (Mémoires de V académie de Saint-Pétersbourg, 1817), peut être traitée simplement en partant de ce théorème.que, si trois forces se font équilibre, elles sont concourantes et dans le même plan. Le côté AB est en équilibre sous l'action de la force XAB qui lui est normale, et des deux réactions R, R' exercées par les côtés voisins AF, BC ] ces deux forces doivent concourir en un point I sur la perpendiculaire au milieu M
\ AB de AB: AIB est isoscèle, et R — R'= — ^.'— ,^t- Or élevons
en B une perpendiculaire à IB qui rencontre IM en O 5 on
voit que R = XBO, BO = —* Pour une raison analogue, la
perpendiculaire au milieu de BC coupe BO en O', tel que XBO'= R^ donc BO = BO', et les droites menées par les sommets perpendiculairement aux réactions mutuelles des côtés qui y aboutissent concourent en un point O équidistant des sommets. Le polygone ABCD. . . est inscrit dans un cercle, et les réactions des côtés les uns sur les autres sont égales et tangentes au cercle.
Si Ton imagine un vase dont les faces latérales soient des rectangles articulés suivant leurs droites d'intersection qui sont verticales, et dont le fond soit formé d'une membrane extensible^ si Ton verse un liquide dans le vase, chaque face latérale éprouve une pression normale proportionnelle à son aire, et la section droite est un polygone inscriptible dans un cercle.
56. On donne dans un plan vertical un assemblage ABCDE /orme de quatre barres égales, pesantes et homo-
SUK LA MÉCAlflQIJE RATIONNELLE. fjn
gènes, articulées entre elles en BCD; les extrémités A ef E sont attachées par des charnières à deux points fixes d'une horizontale; on demande la forme d'équilibre, (Couplet, Des charpentes.)
J'applîque la méthode de Varîgnon pour l'équilibre du polygone funiculaire : je mène par un point O [fig. 4) ^ï^e droite Oi parallèle au côté AB du comble et proportionnelle à la pression qui s'exerce sur chaque section droite de cette barre. Comme le poids P de chaque barre peut être
Fig. 4.
!rf
remplacé par deux poids |P appliqués à ses extrémités, le polygone ABCDË est dans les mêmes conditions que si des forces verticales P étaient appliquées à ses sommets mobiles; si donc par le point b je mène une verticale bc proportionnelle à P, Oc représentera en grandeur et en direction la pression du côté BC 5 de même, si cd = de = P, Orf, Oe .seront parallèles à CD et DE. Cela posé, je dis que Oc et Od font des angles égaux avec T horizontale OH; car, si l'on avait cOH>HOrf, on aurait aussi AOH>HOe; la projection de ABC sur une verticale serait plus grande que celle de CDE, et A et E ne seraient pas sur une même horizontale.
Alors iH= 3cH; si donc « et (3 sont les angles de AB
^8 kecijeil d'exercices
et de 6C avec Thorizon, on aura
tanga:= 3 tangp.
Il suffit d'écrire que AE est égale à la projection du polygone sur rtiorizon pour avoir une seconde équation entre a et (3
/ =1 /? ( cosa -H ces p ).
Posons tang^ = x^ et éliminons et :
Quand x croît de zéro à oo , le premier membre décroit de 2 à zéro ^ il y a donc une et une seule solution quand l'écart AE est moindre que deux fois la longueur d'une barre.
57. Position d'équilibre de deux poids égaux assujettis à rester sur une parabole dont l'axe est vertical, et se repoussant auec une intensité ini^ersement proportionnelle à leur distance.
Soient A, B les deux points, x^ y^ ^' ^j' leurs coordonnées, j:*= npy Téquation de la parabole. En écrivant pour les deux points la condition X rfx-f- Y ^(y rrz: o, on trouve deux équations de la forme
Remplaçons ^-^ ex. f par—, —, et débarrassons les frac-
^ ip Tip
lions du facteur x — x* qui ne peut être nul ; il vient
Retranchons la première de la seconde, et simplifions encore la fraction :
On a d'abord la solution x'= — x^ et, en substituant dans Tune des équations (i), on trouve
Si Ton cherche une autre solution, on divise par x + x\ et il reste
dans ce cas, ajoutons les équations (i) après avoir multiplié la première par x', la seconde par x\ on en déduit
jcx' =z — 2/?';
on connaît la somme et le produit de x et de x^ Cette seconde solution est réelle toutes les fois que [>} — agp ^ o-
tipdlibre en te^iant oompte du frottement.
58. Une tige pesante OA, parfaitement mobile autour de l'extrémité O, s'appuie en A contre un plan vertical dépoli ; déterminer la position de la barre quand elle est sur le point de glisser.
Soient a la longueur de OA, 9 son angle avec la perpen* diculaire OP abaissée sur le plan fixe, ^ l'angle du plan
8o RECUEIL d'exercices
AOP avec rhorizon, N la pression normale, fN la force de frottement dirigée suivant la tangente en A au cercle que A peut décrire sur le plan fixe. Prenons pour axe des z la verticale de O, pour axes des x OP, pour axe des jr une perpendiculaire aux deux premières ^ les coordonnées de A sont acosd, asinOcos^, asindsintp-, les composantes delà force de frottement X = o, Y = — /N sintp, Z =/*N cos^}/. Nous n'avons qu'à égaler à zéro la somme des moments par rapport à OZ ;
— ^N sin>|/cos9 -h aN sin9cos>|; = o, tang^' = j^^ë^'^
il y a toujours une solution indépendante de l'épaisseur de la barre.
59. Une tige homogène AB peut tourmer dans un plan vertical autour de son milieu C, et porte à une de ses extrémités B un poids Q 5 une autre tige OE, mobile autour d 'une de ses extrémités O, appuie sur l'extrémité h. de la première tige; le point O est situé verticalement au-dessus de C à une distance CO = CA = a 5 déterminer la position du système quand le point A est près de glisser sur OE, en remontant vers O ou dans le sens opposé.
Le poids P de OE peut être considéré comme appliqué en son centre de gravité à une distance A de O. Soient a l'angle COE=CAO, f le coefficient de frottement; quand le point A sera près de glisser vers E, la barre AB éprouvera en A une action N normale à OE, faisant avec
AB Tangle a, et une action /N faisant l'angle a en
dessus; prenons, par rapport à C, les moments des forces qui sollicitent AB :
Qsin2a — Ncosa +/Nsina == o.
Prenons par rapport à O les moments des forces qui agis-
STTR LA MicAiriQUE AÂTlOlflîELLB. 8f
sent sur OE i
2Ntf COSa — P^ dna = o.
Eliminant N :
sina[4tfQcos'a — P^(cosa — /siiia)]=:0.
On a la solution évidente a = o et une autre qui dépend d'une équation du quatrième degré. Quand le glissement doit se faire vers AO, on ckangey*en — f,
60. Une tige pesante et homogène AB s'appuie par son extrémité A sur une horizontale, et touche en un point variable M une courbe située dans le plan ^vertical qui contient la droite fixe; les coefficients de frottement sur cette droite et sur la courbe sont égaux. Déterminer la courbe de manière que, dans toutes ses positions^ AB soit sur le point de glisser.
Prenons pour axe des x un point O de l'horizontale fixe, que nous choisirons plus tard, et désignons par 2a la longueur de AB, par P son poids, a son inclinaison sur OX, N et N' les réactions normales en A et M, f l'angle de frottement. Projetons les forces sur une horizontale, une verticale, et prenons les moments par rapport à A :
/N = N'{sina —/cosa), P = N -H N'(co8a -h/sina),
aPcosa=: -; — t sma
/ étant l'ordonnée de M. On tire de ces équations , Psinfcosf - Pcosysin(« — f)
sma sma
aa sin2f
jr = -; sin*a cosa.
C'est une équation différentielle de la courbe cherchée;
Di S.-G. — Xee. O
8a RICI^SIL I^*«XBRCICES
maiS) pour la construire, il est commode d'exprimer x et jr en fonction de a, et de faire varier ce paramètre au lieu de l'éliminer. En posant aa = Tisinsf , on trouve
y=zn sin* a cosa, dy=zn[Z cos*a — i) siua /fo, ii!r = dy cxAoi =:/i(3cos*a — i)cosa€/a, a: = (2 — sin'a)/2sins.
Nous plaçons ainsi l'origine à l'extrémité A de AB quand
elle est horizontale. La courbe est symétrique par rapport
aux deux axes, parce que, si l'on change a en — a, j' ne
change pas, et x se change en — x\ si Ton remplace a par
?r — a, c'est x qui ne change pas. Il suffit donc de faire
it I
varier en de zéro à — ; quand ol varie de zéro à arc eos -^^
X ^Xy augmentent tous deux en partant de zéro, pour atteindre, le premier la valeur ^n \/^' l'autre - n i/o* En
ce point, il y a rcbrousscment, et quand a varie depuis la valeur précédente (54^440 à 90 degrés, x et j- diminuent, le premier jusqu'à n^ le second jusqu'à zéro.
En se reportant aux valeurs de N et de N' qui doivent être positives, on voit que la seule partie utile de la courbe est celle qui répond aux valeurs de a supérieures à f .
Quand f varie, on obtient des courbes homothétiques : l'équation de l'une d'elles serait, en coordonnées polaires,
H — (36cos*ô — 37 cos*ô — S)/?*/*-!- 16/1* sin*ô = o.
61 . Quels dow-ent être les coefficients de frottement du Jer sur le fer et sur le sol pour que quatre boulets spkériques, disposés en pile triangulaire, soient sur le point de glisser?
Soient P le poids commun des quatre sphères, O le centre d'une des trois sphères inférieures, O' ^elui de la sphère supérieure^ la droite 00' fait avec Thomon un angle a
81] R LA UtCàMIQCE HA^TIOHMELLE. 83
dont le cosinus est -^ ^ soient encore A et B les points de
contact de la sphère O avec Of et avec le sol, N, N' les réactions normales en ces points, ff les coefficients de frottement aux mêmes points. L'équilibre peut être rompu, soit parce que les sphères O glissent sur le sol aux points B, la sphère O' roulant en A, soit qu'il se fasse un glissement en A et un roulement en B-, il faut considérer le cas où l'un et l'autre de ces mouvements sont prêts à se produire; mais la direction des deux glissements de O' sur O ou de O sur le sol se trouve par raison de symétrie dans le plan vertical de OO'. Projetons sur l'horizontale de ce plan et sur une verticale les forces agissant sur O, et prenons les moments par rapport au centre :
K(cosa — /sina) =/'N', P -f- N(sina -h/cos«)= N', d'ailleurs N' est évidemment égal à ^P; on en conclut
62. M. Kui^tis a signalé une formule qui permet de trouver aisément l'équation d'équilibre d'un solide sur lequel agissent une force extérieure et deux réactions; il sutBt d'écrire que ces trois forces sont concourantes, car on pourra disposer ensuite des grandeurs des réactions pour compléter les conditions d'équilibre. Or, si, dans un triangle ABC, on mène une droite AD qui coupe BC en D. on trouve sans peine
/ \ .^« DCcotCAD — DBcotDAB DBcotC — DCcotB
i) cotADB = =r= = ^ •
