En général» soit à éliminer ^r entre les deux équations
(5) f{x) =fir^x"-hfl,a:"-'-f-r7,jr'^*-h...-h/3r„= o,
(6) (f{x) =^pX"-i-^,j:"-*-f-^,:r«-*-h...-h^^ = o,
que , pour plus de simplicité , nous supposerons d'abord ^ mëose degré m.
Pour trouver le résultant de ces deux équations, on procède, d'aprè> Cauchy, de la manière suivante.
On isole dans le premier membre de chacune des deux équations, d'abord le premier terme, puis les deux premiers, ensuite les trois premiers, . . ., enfin les m premiers termes; on forme' ainsi m groupes d? deux équations; on divise membre à membre les deux équations de chaque groupe et Ton supprime dans les deux termes des fractions de gauche les puissances ^j x"-', jt"-', . . ., x', x, que ces deux tenDes admettent comme facteurs communs.
Oh obtient ainsi les m équations
a^ r/, af"~* -+- ti^ .r"'"' -h . . . -f- ^^, x -h a^ T?.'^ b, J7"'-' H- b^,ïf"-^ + • • • -^ ^«-1 -c -^ ^«.' a^x -+- fl, a^x^'^-^. . . -^ /7^, X -}- a^ b^x -h b.~ b. jf"~^ -h . . . -h 6„ i^ -^ b„
U I 2 . m—\ Ht
a^ x^-^a^x +- «, ^3 a^-^ -h ... -h ^^, x -^ n^ b^x''-\-b\x-hb^ ~ b^ x"»-*"^ . . . V"^„, -^-^b^ '
a^ x"'' -f- <7, jr"*-' -h ... -h /!„, «„, X -{-a b,^^^b,x"^-'-^,,,-^b„Z, " bZ^^X'
b,x'"-^ -f- ^.x-'-^-h . . .-h ^^.,x -4- Vi
JK
Si les équations (5] et (6) ont une racine commune, toutes ces m équations seront vérifiées par cette racine commune. Mettons toutes ces équations sous forme entière, elles deviendront
A.x"-» -+-B,x^-' -hC,x^-' -+-...-+- G, X -4- H, ==0,
A^oT-' -{-B.x^-^ H-Cj-r^-' -h...-f-G3X -4-Hj = o, A.-.^-' + B,x-'-4- C„.x«-^ -^ . . . -f- G^^^x - H^,, = 0,
IBS ftÉSULTANTS.
OÙ nous avons
A, = a^h^ — a^ b^, B, = a^b^^ a^b^, C, = a^b^ — a^b^, et; en employant la notation abrégée des déterminants (17 bis)^
H3 =(ûî*«).
Hm= (''m-.^J-
A. =(^.6J, B^ =[a,bj,
Par ces dernières valeurs on voit que chacune des équations ( 7 ) est du (m — if^ degré en x et que les coefficients y sont des fonctions du premier degré des coefficients a^, a^y • • • « ^m ^^ l'équation (5), ainsi que des coefficients ^», 6,, • • • > ^^ ^^ l'équation (6).
Nous avons ainsi obtenu m équations (7), qui sont du premier degré par rapport à leurs m — i inconnues
Si les équations (5) et (6) ont une racine commune, cette racine satisfera aux équations (7); par suile celles-ci sont compatibles; donc leur
déterminant
■■ifl-l
est forcément nul.
Ce déterminant est du m*^*^ degré par rapport aux coefficients de chacune des deux équations (5) et (6). U est nul chaque fois que ces équations (5) et (6) ont une racine commune, c'est-à-dire chaque fois qu'on a R= o. Il s'ensuit que les fonctions R et A ne diffèrent que par un coefficient numérique (143) ; donc A est bien le résultant des deux équations proposées; et, pour que celles-ci aient une racine commune, il faut et il suffit que ce déterminant soit nul.
153. Considérons actuellement deux équations» qui ne soient pas du même degré, par exemple
ax*-^ bx*-h cx*-h dx -^ e~-o et a' x^-\- b'x -h c'= o, et proposons-nous aussi de déterminer leur résultant.
XIYRB II. — GHAPITRB III.
Multiplions tous les termes de la seconde par ;r% nous formons l'équation
qui est du même degré que la première
(9) aor^-f- bx*-^ ex* -h dx -^ e=:o.
Isolons, dans le premier membre des équations (9] et [8;, d'abord le premier terme, puis les deux premiers, ensuite divisons membre à membre; nous formons les équations
JC»
-4- ex*
-4- dx
ax -f-
b'x'-^dx' ex* -h dx
a'or-h
qui reviennent aux suivantes :
[ab')x*'^ ( ac' ) X* — dc^x — ecd = o, {«c')^»+ [(6<?') — da']x*— (rf6'+ ea')jp — eV
Si Ton adjoint à celles-ci les deux équations
a' x^-^-b' x*-\- & x=;Oy afx^-r- b'x -f- c'= o.
on aura un système de quatre équations du premier degré entre les trois inconnues x*y x* et x. Pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul, ce qui fournit la résultante demandée
[ab') [a&) dd
[ad] [be']'-da! db'-^-ea' a! b' -cf
ea!
eb'
154. Soient données, en général, les deu^équations de degrés diffiirents
(10) (ti)
f(x) — a^x^-^ a^a^~^'^. • •-t-^«^ Oi ç [x) ~- b^jf -h ù^ af"^ -h . . . -T- ô„ =0,
LIS AtSULTÀNTS. 121
(VU m > /i. Si Ton multiplie tous les termes de la seconde (ii) par jf^~", on forme une équation
(12) ^,jr*-h *, j:*~*-f-...-4-6,j:*^=: 0
de môme degré que (lo).
Opérant sur les équations (10) et (12] comme on a fait sur les équations (5) et (6), jusqu'à ce qu'on ait isolé les n premiers termeSi on obtient les n équations
a^ ^ a^af^^-^, ..-i-a^
b^oT-*
b^jf*'^ -t- b^ a:*"'-!- ... -1 qai se ramènent à la forme
 ces n équations on adjoindra les m — /i équatioAs
b^sf^'^ -H = 0,
que Ton forme en multipliant la seconde (11] des deux équations données par les iTî — /? premières puissances de x^ j:"-**-", a:*"*"*, ...,«•, x*, jb*. On a ainsi un système de m équations (i3) et (i4) à m — i inconnues . , x*, JT, qui, pour être compatibles, exigent qne leur dé-
terminant
122 LIVRE If. — CHAPITRE 111.
soit nul. Ce déterminant est du degré n par rapport aux coefficients a âe
réquation /(j:) = o et du degré m par rapport aux coefficients 6 de
réquation ^(x) = o; donc il est égal au résultant de ces deux équations.
Le calcul de la racine commune s'effectue par le procédé du n*" 166.
* i55. Méthode de H. Gayley, modifiée par le P. Jonbert. — Si Ton parvient, par un moyen quelconque, à former réquation
(i5) F(a) =B.a"-+-B,tt"-»-f-B,a"-'-+-...-HB, = o,
qui admette pour racines les n quantités
on pourra obtenir immédiatement le résultant R des deux équations
(i6) /(x) =/7^j:^-ha,j:^~*H-. ..H-fl^= o,
(17) (ï>(j:) = ^;j7" H-^jX"-' H-.. .-h^„ = o,
où ^p ^2, . . . , p„ désignent les n racines de cette dernière équation.
Il suffira, en effet, de diviser le terme connu B„ de Téquation (1 5) par le coefficient B^ du premier terme et de multiplier le quotient par 6f , pour avoir, en valeur absolue, le résultant demandé (II) du n"* 140.
* 156. Premier cas. — Supposons d'abord que les deux équaUons données (16) et (17) soient de même degré, de sorte que /i = /m.
Pour former réquation F(tt) = o, considérons la fonction
qui est entière par rapport à x et j, puisque l'hypothèse j' = x annule le numérateur. Cette expression est du premier degré par rapport à s; elle devient nulle, quel que soit^, si l'on y pose en même temps
(19) ^=Pr» «=/(Pr),
OÙ p^ est l'une quelconque des n = m racines de l'équation (17).
Par conséquent, les m coefficients A,, A„ A„ .. ., A,^, des diverse? puissances /""S /""', y""', • • • 1 y > J^ sont nuls dans (18) pour toutes les valeurs de x qui satisfont aux conditions (19).
Pour calculer ces coefficients, je remarque que la fonction (18) ou ^ peut s'écrire
LES BÉSULTAlfTS.
on bien
(20) *=2CaJ:'/~
-hb,x
OÙ les quantités / et /• doivent recevoir les valeurs o, i, 2, . . . , /w — i. J^obtiens le coefficient A, dey"~\ en posant h = m^i et en donnant à i 1^ valeurs successives o, 1,2, . . . , /w — i ; je l'égale à zéro, ce qui me fournit une première équation
A.= C.,^,-è,«H-C,,„.,x-+-C,,^,j:»-r-...-HC„,,„.,j:«-' = o.
Je trouve ensuite le coefficient A, de^'"~*, en posant / = /w — 2, et en donnant à / les valeurs successives o, i, 2,. . ./w — i; je l'égale à zéro, ce qui me fournit une deuxième équation
Calculant de même le coefficient A, dey"~' et régalant à zéro, on forme une troisième équation
-*- (C,.«5— ^,«)ar'-f- . . . -f- C„^,,«3^-' = o.
Si l*on continue de la sorte, on finira par arriver à la m^"^ équation, qui est la dernière,
Ces m équations, entre les m — i premières puissances de x, existent pour toutes les valeurs de x et de u qui satisfont aux conditions (19); si Ton considère ces m ^ i puissances
comme autant d'inconnues, on aura un système de m équations du premier degré à /?? — i inconnues. Or, pour que ces équations soient compatibles, il faut et il suffît que leur déterminant soit nul (134). On obtient ainsi Téquation demandée en i« (155)
