K24 LIYRB II. — CHAPITRE III

Les deux équations (i5 ) et (21) doivent être identiques; par conséqaent on obtiendra le terme B„, qui est indépendant de u, en taisant u dans (21). ce qui donne

^$,m~^ ^l,m^t ^,«-1 ••• ^m-Umt-l ^0,m-ï ^,m-8 Cj,m-» ■ • • ^ '^•.w-S '^l.iii-J *-'»,iii-3

(III

^tf 0 C|,0 Cî,«

Le terme qui, dans (ai), contient u à la plus haute puissance if = /n, est évidemment fourni par le terme principal du déterminant (211), terme dont les éléments appartiennent à la diagonale. Or ce terme est le produit de m facteurs binômes dans lesquels la seconde partie est égale à — ^^u; la puissance la plus élevée de u dans ce produit se trouvera ainsi dans (— i)'"b^t^, de sorte qu'il vient

On a donc (n du n"" 140)

donc ce dernier déterminant B„ ou (III) est, en valeur absolue, le résultant cherché.

*157. Il convient de remarquer que le résultant (III) est un dêtemùnani spnétrique; car la fonction <1> ou (18) restant égale à elle-même, quand on y change x en 7 et vice versa, le coefficient de a^y^ doit être le môme que celui de a^y^\ par conséquent on a C^ = C^^.

*158. Calcul des éléments du résnltaiit (HI). — Les coefGcientsQit qui constituent les éléments dans le déterminant (III), sont fournis par le quotient

(aa) /'Wy(r)-/(j)y(^)^ •

où les polynômes /(x) e%^(x) sont chacun du w**"** degré.

Nous allons transformer cette expression, pour mieux en déduire les coefficients C^.

Puisque

nous voyons que a„pX^ est le terme général de/(x) et que ce terme fournira l'ensemble des termes de cette fonction, si Ton y remplace/' successivement par les /» + 1 nombres de la suite naturelle o, i , 2, . . ., m.

LB8 BÉSULTANTS. 125

De même le terme général de f (7) peut être représenté par b^ ^y^^ où q devra recevoir la suite des valeurs o, i, a, ... m; par conséquent on a

Changeant x en ^ et j^ en x, on en déduit

Le numérateur de notre fraction (12) est donc

Où le terme général

fournira tous les termes du développement (làS), si Ton a soin de donner d'abord à p les jir + 1 valeurs successives o, i , a, . . . , m, puis de donner, dans chacun des m -4- 1 résultats obtenus , les mêmes /n + i valeurs 0, ],a, ..., m à 7. On trouve ainsi que la différence (a3) se compose de (m H- 1)' termes, dont (24) est l'expression générale. Or les /n + 1 de ces termes, pour lesquels/? et q sont égaux, s'annulent évidemment; donc la différence (aS) ne contient en tout que {m -+- 1)'— (« h- i) ou m (/w -h i) termes.

Cesi7i(/?tH-i] termes peuvent encore se grouper deux par deux. En effet, prenons deux quelconques a et p des nombres de la suite o, i , a, . . . m, et posons d^abord /? = a, 7 = p ; puis p=p^q = x\ nous obtiendrons les deux termes

dont la somme est

«1 posant

Or, si dans le produit (25 ) on change a en ^ et p en a, les deux ùtcteurs cbangent seulement de signe, de sorte que le produit reste le même; donc on obtiendra tous les termes du développement (23) au moyen du produit (26), en y donnant à a les valeurs o, 1,2,..., jusqu'à la moitié de m exclusivement, et à ^ les valeurs entières depuis la moitié de m indosivement jusqu'à m.