LIVRE II. — GHAPITRB III
Il s*ensuit qu'on peut écrire régalité
où a est moindre que p et où le second membre se compose de /w (m -h O
termes.
Divisant par jr—x, on obtient le développement
' =2r^p^^(;rP-«-'H-x7P-«^»H-...-hJrf— ').
C'est au moyen de cette expression (Y) que nous allons calculer les éléments C^,^ du résultant R ou (III).
La quantité G^ est la somme d'un certain nombre de coefficients c^ fournis par (IV); or le coefficient c^, dans (Y), n'entre que dans des termes où la somme des exposants de x et j est égale à a -i- ^ — i; par suite, on doit toujours avoir « h- X = a 4- p — i . Il faudra donc résoudre cette équation de toutes les manières possibles, en prenant toujours 2 moindre que p.
Ainsi Ton donnera à a successivement les valeurs o, i, 2, . . . , t\ eU'oo déterminera les valeurs correspondantes de |3 ; de cette manière
Pour a = o, on trouve p = « -+- X* 4- f,
i.j-t-ft
On voit donc que l'on a
(VI) C^k = Co.i^.»+i ^
avec la condition (lY).
D'après ce que nous avons dit relativement au calcul de r^, on ne doit donner à 1 que des valeurs inférieures à la moitié de i -h X* -t- 1 .
* 159. Gomme application immédiate , proposons-nous de calculer le résultant des deux équations du troisième degré
f[a:) ~ a^JT^ -^ a^J;^ -h a^x -h a^y <f(x)= b^a^ -k-b^x^-^b^x-^ b^.
Ce résultant se déduit de (III) du n'^lSG, en y faisant m — 3; ii est
LES RfiSULTAlfTS. I27
puisque (157)
C,, = C,,, C,, = Cj2 et C,, = C,,.
Pour déterminer les éléments de ce résultant, nous avons recours à la formule (VI), qui, combinée avec (lY), nous donne
C„ = ^« H- c,^ = a^b. — a^b^-^a^b^^aX = («3^) -^ («i^),
D nous vient donc ,
(«36J (fl,^.)
* 160. Deuxième cas. -- Les deux équations données (i6) et (17) sont de degrés différents. Supposons que m soit plus grand que n, La fonction (18) Ott
peut s'écrire
126) * = iCaJ'r*— K
^jX
elle est du [m — i)'*^ degré par rapport kjr. Les coefficients/""*, 7**
/> y*'\ . . ., ^, / des diverses puissances de y doivent encore être
nuls pour toutes les valeurs de x qui satisfont aux conditions (19].
Je détermine d'abord les coefficients des n dernières puissances de 7-, ceux de /•"', /*'% . . .,/, y. Pour cela, il me suffit d'attribuer à X-, dans (26), successivement les valeurs /i — i, /i — a, . . ., 2, i, o et de donner à 1, dans chaque résultat, les valeurs successives o, i, 2, ..., « — I. En égalant è zéro ces coefficients ainsi calculés, j'obtiens les n équations
iC.^- ^«) -^ (C,^-3- ^,")^ H- {C,,,.3— b,u)x' ---..,-
(C.,-^.tt) =
128 LITBB II. — GHÀPITRB HI.
Il reste à égaler à zéro les /w — /i coefficients de y^\ 7*"*, •••>/■» qui, d après la composition (26) de 4», sont indépendants de ce. L^ termes qui contiennent ces puissances de j^ ne se trouvent évidemment que dans la partie
/(^)?(r)-/(jr)y(^)
de la Tonction <&; or la quantité/(âr) ^(j], qui figure au numérateur de cette première partie, est du ri*^ degré par rapport à y\ par suite le quotient
jr — x
n'est que du (/i — i)'*"* degré par rapport à y\ donc ce quotleat ne contient aucun des termes cherchés, et ces termes ne peuvent provenir qw du quoUent
/rr)y(x^ .. fir)
jr — a: ' ^ ' jr — x
En effectuant la division, on trouve que
a^j^-'-ha^x /-•-h^.x' y^-i-,..
Égalant à zéro les coefficients des puissances de /, qui sont supérieures à la (/i — 1)'*~, on obtient les m — 72 équations
(a.x -h a,)ff[x) = o.
qui se réduisemt à la seule équation ff[x) = o.
Aux n équations [l'j) déjà écrites, je ii*ai donc qu*à adjoindre les j» — « équations
ç(x) = o, xç(x) = o, jr»f(x) = o, ..., af'-»-'<p(a:) = o ou
-hfcx**»
LES BfiSULTANTS*
pour avoir un système de m équations du premier degré à /n — i inconnues. Ces équations, devant être vérifiées pour toutes les valeurs de X et de u qui satisfont aux conditions (19), exigent que leur déterminant soit nul. On trouve ainsi Téquation demandée en u
(C..,-6,«) (C,^,-è.tt) ... C...
On en déduit, comme au n"" 156, la valeur du résultant, qui est
^§,«-1 ^M-l • • • ^m-a,iM-l *-'m-i
^ i61. D'après cela on trouve facilement que le résultant des deux équations
est le déterminant
