LIYBE II. — CHAPITRE III

165. Si les deux équations (i) avaient deux racines communes, on les mettrait sous la forme

éliminant x entre celles-ci» on obtient Téquation

ax^ -h bx -\- c d a'x'-^b'x-^c' d' qui revient à

[ax^-hbx'\-c)d' — [a'x^-^b'x-hc'] d — o,

ou à

(ad''^da')x'-h{bd'—db')x'^ (crf' — rfc') = o,

et donne, pour les deux racines communes, les valeurs

db' — bd' ± sj(bd' — db' Y — 4 [ad' — da! ) [cd' — dd

2 \ad' — da! )

166. En général, considérons les deux équations (5) et (6) dun^ JS2, qui sont toutes les deux du /w**™ degré.

Si ces deux équations ont une racine commune, leur résultant (I) du n^i52 sera nul.

Supposons que, dans ce déterminant (I ), l'un des déterminants mineurs, correspondant aux éléments de la dernière colonne des H^ ne soit pas nul, par exemple, le déterminant mineur qui correspond à Télément H.. Si nous supprimons, dans le système (7) du n"* 452, Téquation qui contient cet élément H^, nous aurons un système de w — • i équations à /w — i inconnues» savoir :

A,x«-' -hB,j:^-'

BjO:"'-'

A^, ^-' ^ B^, ar--^ -+- C«, a:»-^' -^ . . . -f- G„, x -^ H^,. = o,

qui sont du premier degré par rapport à chacune des m — 1 puissances x^-\ jf"\ . . . , x', X de rinconnue x.

Si nous voulons avoir la première puissance de la racine commune, nous résoudrons ce dernier système par rapport à la première puissance

LIS RfiSULTAirrS.

de X. Nous trouvons ainsi l'équation du premier degré

XH-

^m-l "m-l ' ' ' "ni-l

qui nous donne la valeur de la racine commune.

Si l'on voulait avoir la i*^^ puissance de la racine commune, où i est un nombre entier inférieur à m, on résoudrait le système précédent par rapport à Tinconnue a:^.

On opérerait et Ton raisonnerait d'une manière analogue sur le système des deux équations (lo) et (i i) du n^ 154, qui sont Tune du m^'^'et

l'autre du w**"* degré.

167. Pour mieux nous faire comprendre, appliquons cette théorie au système des deux équations du quatrième degré

ax^-^-bx^-hcx^-i- dx h- <? = o, a'x^ -h b'x^ -H f 'x' -+- d'x -^e'—o,

Cherchons le résultant de ces deux équations par la méthode de Caucby (n** 152). Nous formons le système des équations

ba?

-h rx*

dx H- c

H- ex'

ax-h b