CX

dx -h e

""cV

dx -+■ e'

nx^

dx H- c

ax'-^bx'-^cx^d

qui, mises sous forme entière, se réduisent au système

[ab')x^ (ac')x^

[€ic)x'* -\- [ad]x -\~ [ae'] — o,

[[ad']-^[bc')^x'-^{[ae')^[bd!]^^x

[{ac')~^(bd)^^x'-^[[bc')-^-(cd)\x

(6^)x'-f- [ce!)x ^(dc').^o

[be') [ce']

de quatre équations aux trois inconnues a?, x* et x.

l34 LIVRE II. — CHAPITRE III.

Si les deux équations proposées ont une racine commune, cette racine satisfait au système (i), ce qui exige que Ton ait

[Ob') (ac')

[ac') (ad)-^(ùc')

(ad') (ac')-h(bd')

(ae') (be')

Jarf) (ae')

{ae')-^(bd) (be')

{bc')-^(cd') (ce')

(ce') (de')

Cette condition étant remplie, on peut calculer la racine commune.

Admettons que les déterminants mineurs, qui correspondent aux éléments de la dernière colonne, ne soient pas tous nuls, et que, par exemple, le déterminant mineur

(nb') (ac')

(ac') (ad')-¥(bc') (ad') (ad)-^(bd')

[ad') (ae)^(bd)

(b(^)-^(rd')

qui correspond à l'élément (d^) de la quatrième colonne, soit différent de zéro.

On aura le système des trois équations

( {ab')j^

(4) {ac)x^

( (ad')x'

(ac') X' -+- (ad')x -h (ae') [(^rt')-4-(^r')].r'-h[(/7tf') [(ar')^\J)d')^x''-^l(bc')

(bd')'\x (cr/)]x

(be') (ce')

qu'on résoudra par rapport à l'inconnue x. On en déduira

(ab') (ac') (a'd)

(ad') (ad') -i- (bc') (ae')-^(be') (ad') (ac')-h(bd\ (bc')-^(cd')

(ac' ] [ad' ) -f- (&;' 1 (ad) (ac')-i-(bd')

[ae }

[be')

pour la valeur de la racine commune.

Si tous les déterminants mineurs relatifs aux éléments de la demièro colonne dans A (i) sont nuls, on aura un système de trois équations ( 4 ) à trois inconnues dont le déterminant est nul. Par suite, il v a indétermination, puisqu'il ne saurait y avoir impossibilité, attendu que !«' système (4) est satisfait par la racine commune des deux équations données, racine dont l'existence est constatée par la relation A = o.

Dans ce cas les équations proposées admettent au moins deux racine> communes.

Le déterminant ^ ( 3] étant nul, supposons que dans S les déterminant^ mineurs relatifs aux éléments de la dernière colonne ne soient pas tou>

LIS BÉSULTANTS. l35

nais, et que, par exemple, le déterminant mineur

[ab') {ac')

{ac') (ad')-\-{bc')

qui correspond à Télément (be')-^(e(f) de la troisième colonne, soit différent de zéro.

On prendra le système des deux équations

(ab') x" -h [ac'] x» -h [ad')x h- [ae') =-- o,

( ac') a? -h \\atV) -+- [bé)^ x^ h- [(«<•') -h [bd )] x -f- [be') = o,

entre les deux inconnues x' et x', et on le résoudra par rapport à Tinconnue x'. On trouve ainsi l'équation du second degré

\ iac') {ad')-i-(bc')

[ab') [a(f)x-\-[ae')

[ae') [[ae')-^[bd')x-^(be')

qui donne les deux racines communes.

De ce qui précède on conclut que :

Chaque fois que les coefficients des équations [S] et [^) du n'* i^^sont réels, si ces équations admettent une racine commutiCy cette racine est réelle;

S'il X o deux racines communes , elles sont ou réelles toutes les deux ou imaginaires conjuguées;

S* il y en a trois y elles sont ou toutes les trois réelles, ou bien Vune est réelle et les deux autres sont imaginaires conjuguées.

§ IV- — Calcul des racines doubles d'une équation.

168. La méthode que nous allons employer est générale. Nous la donnons pour l'équation du troisième degré

Si cette équation admet une racine double or = a, la racine sera commune à Téquation donnée (i) et à celle

2) f[^) =^^ -r- 2,ax -h b = o,

que Ton obtient en égalant à zéro la dérivée première de /(or).

La résultante des deux équations (i) et (2] fournit la con-