X — CL

et en multipliant ces deux égalités en croix. Nous obtenons ainsi Téquation

(ar'-+-Aar-hB) [x^-^-%ax 4- 6) — (or-f-C) (a:* -4- 3aar»-h3 6j:h-c] =0,

qui se réduit à

(A — C — a) ^» 4- (2 Aa -+- B — 3Ca — 26) a?»

+ (A6 -h 2 Ba — 3C6 — c) ^ -h B6 Ce =: 0.

Égalant à zéro les coefOcients des diverses puissances de x, nous formons les quatre équations, à trois inconnues A» B, C,

aaA -h B — 3aC — 26 = 0,

6A4- 2aB — 36G — c ==0,

-+- 6B— oC

qui, pour être compatibles, exigent que leur déterminant soit nul (ISi*). On trouve ainsi Téquation de condition

aa I 3a 26

h laZh c

i a 2,b 2a 2b c —a ù c o qui se réduit à

Lorsque cette condition est remplie, on obtient la valeur

2a I ûr b aa 26 o b c

LES lÉSULTÀNTS» 187

de la racine double, en éliminant x* et x entre les trois équations

[x -i-Sa) x^-^Zbx-k- c = o,

(ar-{- 2a)ar*4- bx =o, x*-^2ax'¥-b = o,

dont la seconde s'obtient en multipliant (a) par x, et où les coefficients de x* sont regardés comme des constantes. La racine double est donc fournie par l'équation

qui donne

3g(6^ — flg)-hc(6--a')

2(6* — ac)

ou

2a (6' — ac]

en ayant égard à la relation [3j.

Si l'équation du troisième degré est donnée sous la forme

[5] x^-^- px -h q = Of

il suffira de poser, dans la relation (3) et la valeur (4)»

On trouve ainsi que l'équation (5) admettra une racine double si l'on a

iïï-iiy-

ei que cette racine double sera —