Considérons le déterminant du troisième ordre

abc b c a c a b

nous en obtenons la valeur développée, en l'ordonnant suivant les éléments de la première colonne; il nous vient ainsi

= fl(6c — a^) -4-6(ca — 6*) -4-c(a6 — c*].

A = Zabc — (a^-4- 6» -h c*).

Nous trouverons une autre expression de A, en augmentanty dans (i), la première colonne de la somme des deux autres; ce qui nous donne

Ai::.

— (tf H- 6 -f- c)

et prouve que le polynôme (2) admet le diviseur a -h A -+- c- Soit a Tune des deux racines cubiques imaginaires de Tunitéy l'autre sera a}. Si dans (2) nous remplaçons a et ^ respectivement par aa et 6a', ce polynôme devient

3aoc.ba*,c— (a^a^-h b^a^-\-c^) attendu que a^= i; ce polynôme n'a donc pas changé et l'on a

aa ba}

ba'

ba^

aa~T~ bà'-h c ba* c ba' -h c -^ aa c aa c -{- aa-i-ba^ aa ba^

LES RESULTANTS.

iSg

A = [aa -\' ba}-^ c]

ba}

aa ba"

donc le polynôme (2) est aussi divisible par aa h- ba^-^ c. On verrail de même qu'il est encore divisible parfla'-h 6 a 4- c. Il vient ainsi, quels que soient a, b et c,

Zabc — [a^-h b^-in c^)

= [a -h b -^c] aa -^ ba^-^ c] [aa^-h ba -f- c] X q;

or, pour a-zo et 6 = o, les deux membres se réduisent à — c^ et c^q ; par suite, q est égal à — 1 et Ton a

,3 a»-f- A' -4- c^— 3abc —{a-hb -{- c) [aa -h 6a' 4- c] [aa''-{-ba-\- c).

Dans celte identité remplaçons c par — x; elle devient, par le changement des signes,

x^—3aba: — a'— 6^— (a: — a — 6) [x — aa-—ba^] [x — aa^—ba).

et donne

a:r-=a-h b, Xt--.aa-\'ba^y Xi^= aa^-\-ba

pour les trois racines de l'équation

5 X* — Zabx ~ a^—b^=:o.

Si Ton avait à résoudre l'équation