r^-h/?j7 4- 7 = o, il suffirait de poser dans

ab= — ^^ a^-\-b^ —

ce qui donnerait pour a et 6 les valeurs connues

l4o LIYRB II. — GHàPITEB III.

Les trois racines de l'équation (6) seront donc

-=v'Vè-?-v^'-\/ë-f

iy/iTvf7ï-O±:0/^-j

170. Nous venons de voir que le déterminant (i) du troisième ordre se décompose en un produit de trois facteurs du premier degré par rapport aux quantités a, b et c. Cette décomposition constitue un cas particulier de la proposition suivante.

Théorème. — Lorsqu'un déterminant du /i*'*"" ordre

a pour lignes ou pour colonnes les n permutations circulaires que l'on peut former avec une suite de n quantités

a^ (?j Cf * ' ' 1 '* 7 ')

ce déterminant est le produit de n facteurs du premier degré par rapport à ces quantités. Ces facteurs sont les sommes des produits que Von obtient, en multipliant ces quantités par les n puissances successioes de chacune des n racines /i**"" de l'unité.

Soient «, P, 7, . . . , ^ les /i racines /i""" de Tunité. A la première colonne de A ajoutons les /t — i autres colonnes multipliées respectivement par les /z — I premières puissances de a ; nous aurons

a H- ^a H- coL^-i.

, ..-f-Xa"-»-H/a"-'

b -T- COL-h

...-+-/ a»-» -fla»-*

/ -h ûia -f ba}-r

H-Xa"-»..

LES BÉSULTÀlfTS. l4l

Appelons A le premier élément

fl -h ^ a -h ca* -t- . . . -f- /a"~*

de la première colonne; nous avons le second élément de cette colonne

6-1- ca -h . . . -+- /a"-*-i- «*•-*= a"-* {ba -h cct^-h ... -h lo^*-^ a) = a""* .A, attendu que

il s'ensuit que le premier élément A de la première colonne divise le second élément de cette colonne; il est facile de voir que A divise aussi le troisième élément, le quatrième et jusqu'au dernier élément de la première colonne ; donc le déterminant A est divisible par

A = a -+- ôa H- ca*-^. . . -h /a"~*.

On verrait de môme qu'il est divisible par

B = a H- Ap -h cp'-h. . . -+- /p"-*, C = a -H ^7 -+- cy'H- ... h- /y*"',

et aiosi de suite. Ce déterminant A est donc de la forme

18) \ X (fl -f- ^7-4-^7*-+-...-+- Z'/"-*)

X (a-h b'k -hcX^-h. . .H- />*"');

nais rhypothèse û = ^ = c = ...= X' = o réduit le déterminant (7) à a seconde diagonale, qui est composée de n éléments égaux à /; la va-

enr de ce déterminant se réduit donc à (— i) * /".La môme hypo-

hèse réduit le déterminant (8) à K/". Donc on a K = (— i) * .

§ VI. — Les différences des racines d'une équation.

171. Produit des différences de n quantités. — Soient tonnées les n quantités quelconques

l42 LIVRE U. — CHAPITRE III.

et le déterminant

formé avec les n premières puissances de ces quaDtités, comptées à partir de la puissance zéro. Si dans A nous posons 6 = a, les deux premières colonnes deviendront identiques et le déterminant s'annulera; par suite A est divisible par a — b. On verrait de même que A est divisible par la différence de deux quelconques des n quantités (i). Donc on a

où K désigne le coefficient par iequel il faut multiplier l< produit des différences des n quantités (i) pour avoir à.

Or le degré de ce produit est i-h2+34-...-h(n— 1)=-^

et le degré du déterminant (a) est aussi — ^ \ donc K ne

peut représenter qu'un facteur numérique. Supposons que les n quantités (a] soient rangées par ordre

de grandeurs croissantes; chacune des — différences du

produit (3) sera négative; par suite on a K= (— i) * .

172. Produit des carrés des différences des racines d'une équation algébrique. — Supposons i]ue les n quantités .i| soient les racines d'une équation f[x) = o, et désignons pai ^0» Siy Si, . . , S2n-i les sommes des puissances zéro, première^

LB8 EÉSULTANTS. l43

deuxième, ..., (211 — 2]*^"'* de ces racines. Si nous élevons au carré le déterminant (2), nous aurons

IH- I -h H- . . . -h I

a-'-+-ér--' -h... -+-/"-• a" -+-^-4-... H-/" ..

OU bien

Si St

Sin—7

pour le produit des carrés des différences des racines de notre équation.

Si l'équation a deux racines égales, ce dernier déterminant est forcément nul.

Ainsi l'équation du troisième degré aura deux racines égales, si l'on a

5o Si St

5| St Si

Si Sy $4

Il est d'ailleurs facile de voir que le déterminant

où a représente la racine double et p la racine simple, est égal à zéro.

173. Somme des cairés des différences des racines de réipiation dn troisième degré. — Nous savons que (108)

l44 tîyRt II. >- CHÀPITRB III.

or la somme des carrés des trois déterminants compris dans cette notation est (112)

S4 Si Si St

par conséquent il vient

Nous pouvons supposer que a, b ei c soient les racines de réquation du troisième degré.

§ VII. — Résolution d'un système de deux équations