A DEUX INCONNUES

174. Proposons-nous de résoudre le système des deui équations à deux inconnues x et^,

dont nous supposerons la première du m""* degré par rapport k X ex X et la seconde du /»**"• degré par rapport à ces inconnues.

Ordonnons les deux équations par rapport aux puissances décroissantes de x et soient

(^{x,jr) = btX^ -h bix^^ -t-. . .-h 6^r= o

les formes résultantes de ces deux équations, dans lesquelles les coefficients a^^ ^i, ..., a^ et fro» bi, ..., b^ seront des fonctions de x- Le coefficient a^ sera du degré zéro par rapport à Xf ^i du degré x au plus, Ot du degré a, . . ., a« du degré m en XI de même les coefficients b^y bi,...,bn seront au plus des degrés o, i, . . . , n par rapport à /.

Soit ^ = a, j=p une solution du système donné (i). Si dans ces équations nous posons 7- = (3, nous aurons deux

LES 1ÉSDLTAHT8. l45

équations en x^

12) /[ar,(3) = o, <i)(a:,(3) = o,

qui admettront une racine commune a.

Éliminant x entre ces deux équations (2], d'après la méthode de Cauchy (152 et ISi*), nous obtenons l'équation résultante R = o, qui. exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (2) aient une racine commune.

Si, dans l'équation R = o, nous remettons 7 à la place de % la relation R = o sera une équation en y.

175. Cette équation sera au plus du degré mn par rap^ port à y.

En effet, le résultant R est une fonction algébrique, entière et rationnelle, des coefficients a«, ai,. . ., a. et &«, 61,. . ., 6„ des équations (i) et (2); il est du n^^""* degré par rapport a a„ a,, . . . , am et du n*^** degré par rapport à 6«, 6„ . . . , 6». Mais, parmi les premiers coefficients, a» contient/ à la puissance la plus élevée qui ne dépasse pas la m^^^\ par suite R, qui est du n^**"* degré par rapport aux a, est au plus du mn**"»* degré en y.

De même; parmi les seconds coefficients, A. contient j à la puissance la plus élevée qui ne dépasse pas la /i**">«; par suite R, qui est du n**""* degré par rapport aux 6, est au plus du m/***™* degré en y.

176, Pour résoudre le système (i), de l'équation résultante R = o, qui est du degré mn en /, on tire les mn valeurs de y

On les substitue dans les deux équations (i). On obtient ainsi mn groupes de deux équations en x, qui sont

' /(^,ra;==o, o[x,y,]—i

DosTOR. — Déterm, i o

l46 LITEB II. — CHÀPITIB III. — LES lÉSULTAJVTS.

On détermine ensuite la racine commune aux deux équations de chaque groupe. Si Xx, x^y . . .yXm» désignent les racines communes à ces mn groupes respectifs, les couples de valeurs

x^xu r'^y^y x — x^, /=r>»

formeront les solutions du système proposé.

177. Lorsque les deux équations (i) sont du même degré m, l'équation du degré m* en/ sera (152)

où Ai9 B,, . . . y Â>y . . . , H. ont les valeurs ( 152)

Aj=ao6a — ctibo,

> • . • » H«, = <Ia i 6a — ambm-v

Si, au contraire, les deux équations sont de degrés différents m et n, Téquation du degré mn en j sera (154)

. . Ui

. . Ha

APPUCàTION dis déterminants à Là TBiaONOMÉTRIB. l/^']