CHAPITRE lY

ilPPUCATION DES DÉTERMINANTS A LA TRIGONOMÉTRIE.

178. Relation entre les cosinns des trois angles d'nn triangle. — Soient A, B, C les trois angles d*un triangle et a, b, c les côtés respectivement opposés. Sur chacun des trois côtés projetons l'ensemble des deux autres côtés; nous formons les trois équations homogènes du premier degré entre les trois inconnues a, 6, c

I— a -h b cosC -h c cosB = o,

acosC — 6 -+-ccosA = o,

acosB + icosA — c =o,

qui, devant être compatibles, exigent que leur déterminant soit nul. On trouve ainsi la relation

— I cosC cosB cosC — I cosA cosB cosA — I

cos» A -h cos'B -+- cos'C •— 2 cos A cosB cosC —1 = 0. 179. Condition pour qne trois droites Oa^Ob^Oc [fig. i },

issues d'un même point 0, soient situées dans un même plan. — Posons les angles aOc=: A, 60c=B, a06 = C. Par un

l48 LITRE II. — GHàPITBB IY.

point quelconque a de la droite Oa menons une parallèle ac à 06. Si la droite 06 est située dans le plan aOc, cette parallèle rencontre la ligne Oc en un point c et forme avec elle et 0 a le triangle Oac.

Les trois angles de ce triangle seront

aOc = K, Oca=bOc=zB, 0ac = tt — a06 = 7r — C;

par conséquent nous avons entre ces angles la relation (178

— I — cosC cosB — cosG — I cosA* cosB cosA — i

Nous pouvons multiplier la première et la deuxième ligne par — I , puis multiplier aussi par — i la troisième colonne résultante; nous obtenons ainsi la condition demandée

(II

I cosC cosB cosC I cosA cosB cosA i

dont le développement est

(2) I — cos*A — cos'B — cos'C -{- a cos A cosB cosC = o.

Si a et p désignent les angles que fait une droite Oc arec les deux axes de coordonnées Oa et 06» et que 6 soit l'angle de ces axes, on aura entre ces trois angles la relation

(III

I COS a cos^ cos a I cosd cos^ cos 9 i

sin»0 = cos'a + cos'P— 2 cos a cos |3 cos 6.

180. Bégiproquement, si la condition [II) ou {ii) esi remplie, les trois droites Oa, 06, Oc {/ig, 2) sont situées dans un même plan.

APPLICATION DBS BÉTBRMINANTS A LA TEIGONOMÉTRIE. l^Q

Car, si Ton augmente et que Ton diminue à la fois le pre-

mier membre du produit cos' A cos'B, l'égalité précédente (2] devient

1 — CCS* A — cos'B -4- cos'A cos*B — cos'A cos*B

H- acosA cosB cosC — cos'C = o

(4 — ros'A) (i — cos'B) — (cosAcosB -~cosC)* = o,

qu'on peut écrire

sîn'Asîn'B — (cosAcosB — cosC)' = o,

ou encore

(sin A slnB -h cos A cosB — cosC)

X (sînAsînB — cosAcdsB-^ cosC)=: o.

Le premier facteur est égal à

f. i>v r ' C+A-B . C-A-hB

cosfA — B) — cosC = 2sin sm ;

le second facteur est égal à

n IL «N .A-;-B-!-C.A4-B — C

cosC — cos(A-f-B) = 2sin sm •

Notre relation (2) revient donc à l'équation

Asm sm sm sm = 0.

Or celle-ci exprime que la somme des trois angles A, B, C est égale & quatre angles droits, ou que l'un d'eux est égal à la somme des deux autres; donc les trois droites Oa^ Ob, Oc sont situées dans un même plan.