C-+-Ax''-4-B/'=o
Ces trois équations sont homogènes et du premier degré par rapport aux coefficients C, A ei B; pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul (131), c'est-à-dire que Ton ait
Vil)
C'est l'équation demandée de la droite.
Elle eicprime en même temps la condition nécessaire et suffisanie^ pour que les trois points {x^ y), [x',/) et [x",/^) soient situés en ligne droite.
DocTOii. — DéCêrm, n
LIYBB m. — GHAPinB l.
193. Expressions générales des coordonnées des points situés sur la droite, qui passe par deux points donnés (x',/ et [x^fX"). — Nous avons identiquement
A la première ligne de ce déterminant ajodlons les deux suivantes multipliées respectivement par i et>; nous avons
encore
n-X x' -^r'kx" y-\-\y^'
où X est une indéterminée quelconque. Si nous divisons la première li]gne par i + X, nous obtiendrons la relation
af
qui, étant comparée à (VU), fait voir que le point
(VIII
x'-^rlx'
, jy-=-.
appartient à la droite (VU), quel que soit X.
\9k. Condition pour que trois droites se coupent au même point. — Soient
Ax-i-B/-i-C = o, A'a?4-B'/H-C' = o, A'':r-t-B''^-hC''=
les équations de trois droites. Pour qu'elles passent par un même point [x'^y )> il faut et il suffit que l'on ait à la fois
kx' 4-B/ -I-C =o,
A'a:'-hB'r'-^C'=:o, A''x'-hByH-C" = o,
APPLICATION ▲ LA GÉOafiTUE Ail ALTTIQint A DEUX DIMENSIONS. l63
conditions qui exigent que leur déterminant soit nul, ou que
l'on ait
ABC
(IX) A' B' C =o.
§ II. — Le cercle dans le plan.
195. Expression en déterminant de Téquation du cercle en valeurs des dérivées et du rayon ('). — Soient a, b les coordonnées du centre C d'un cercle, R le rayon de ce cercle; et x,jr les coordonnées d'un point quelconque M de la circonférence. L'équation du cercle sera
-<-2(j7 — a)(jr— 6)cos0 — R*=o,
où 6 représente l'angle des axes des coordonnées. On en tire
f|. = 2(^— tf)-h2(j— 6)cose, fy = 2 (7- — 6) -H 2 (a: — flj^cos 6.
Or l'équation (i) du cercle peut se mettre sous la forme
(x — a)[(a; — a)4-(7— 6)cos0] ■
+ (r — *) [(r —*)-+-(* — «) cosô] — R'= o,
ou
[x - a)/; -h (r- *)/; - aR' = o.
Nous avons ainsi trois équations
x] -h (fc— /)COS0 a:)cos6 -t-(ft — 7)
(*) DofTOKf Jrchives de Mathématiques et de Pkjstque, 187/1, t. LVI, p. 10 j.
l64 LIVRE III. — GUAPITAB I.
enire les deux quantités variables a — ^r et ft— 7-. Éliminam ces deux quantités, il nous vient
^R' /; fr
\J1 I cose
\fy cos6 I
Si nous multiplions la première colonne par 2, nous obte-
nons
fy COSÔ I
pour {'équation du cercle. En développant le premier membre, 'on ramène l'équation à la forme
P+/;'-^cos0/;/;=4R'sin»e.
196. Il est aisé de donner de cette équation une interprétation géométrique. Par 1» centrée menons [fig. 3) les parallèles C\
Fig. 3.
et CB aux axes de coordonnées OK et OY, et du point H [x,/] abaissons les perpendiculaires MA et MB sur ces parallèles; si nous tirons en môme temps ME et MF parallèlement à BC ei à AC, nous aurons
AC = CE -4- EA =:ar — a -f- (/— 6) cose= J/; , BC = CF -h FB =/ — 6 -f- ( a: — n) cosÔ = j/; ,
APPLICATION À Là GÉOMÉTEIB llflLYTIQUB 1 DBUX DIMBMSlOlfS. l65
de sorle que le triangle ABC donnera
4ÂB =/:*+/;' -^cosô/:/;;
on a donc AB = Rsind. Ce résultat est d'ailleurs évident, puisque, le quadrilatère ACBM étant inscriptible dans le cercle dont le diamètre HC estR, la corde AB sous-tend Tare dont la moitié est la mesure de l'angle inscrit 9.
197. Équation du cercle passant par trois points donnés. — SiTéquation
a-h bx -i- cjr-h x^-\-j^
représente, dans le cas d'axes rectangulaires, le cercle qui passe par les trois points (^i,j^i), (x,,/,), (x,,^,), on devra avoir les trois équations de condition
6 a;, -f- cj,
+ rî
bxi-h cy\
-rî
fl-4-
bxt -+- cy-i
-^yl
qui servent à déterminer les valeurs des paramètres a, b et c. Pour que les quatre équations (2) et (3), entre les trois inconnues a, b etc, soient compatibles, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul. On obtient ainsi l'équation
(III
x*-hjr^
I Xt
arj-h/î
1 or,
arj-r/î
I Xi
^l-^rl
qui est précisément celle du cercle en question.
Cette équation exprime en même temps la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre points {x,x)f (^n^O» i^ttX^) ^^i^ifX*) soient situés sur une même circonférence de cercle.
198. Relation entre les distances mntnelles de quatre points k{x,yj, B(x„rJ, C(x„j,)et D(ar„7,) situés sur nne même drcon-
férence. — Posons
tlTBB III. — chàpitib I.
«' = AB = (*-X.)'+(jr r,)',
i' = BC*=(x.-x.)»-HO-,-r.)', ./» = DA = {x,-x y + (j-, - xY,
L'équaliob da cercle pourra se mettre sous chacune des deux formœ
JC^-hjr^
— aar
^] -+- JÎ
-IX
x\ -4- rj
Va
•rj -rî
liaisons le produit de ces deux déterminants; en multipliant lignes par lignes, nous obtenons la relation
u (x,-.r)»-h(r.-j)» (x,-^)*-H(r,-Hr,' {^,'-'^Y-^Ly\-p'
qui, en vertu des égalités (4), s'écrit
O a^ m* iP
(IV
iP n* c* o
ou, en développant,
^nî^ n^a} (^ -\- uni* n^b^fP-^ 'kà^àh^ (P — m^ n^ '— (^ à -^ b*d* = o; celle-ci revient au produit (V) [m/i H- nc-^bd) (ac -h bd^mn) [mn -f- ac-^bd) [mn -h 6rf — or) = o ,
qui démontre le théorème de Ptolémée sur le produit des diagonales ni et t d*un quadrilatère inscriptible ÂBCD, et les quatre côtés a, b, c eid de ce quadrilatère.
APPLICATION A LA GfiOMÊTRIB ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 1^7
§ III. — Les courbes du second degré.
199. Forme en déterminant des équations de l'ellipse et de rhyperbole (*]. — L'équation de l'ellipse
rapportée à deux diamètres cofijugués o^d et 26', exprime que : si l'on joint un point quelconque M [x^jr) de la courbe aux extrémités A' et B' des deux demi-diamètres conjugués 0A'= a' et OB' = 6', la somme des carrés des triangles A'OM et B'OM est égale au carré du triangle A' OB'.
Cela. posé» supposons l'ellipse rapportée à deux axes quelconques, passant par le centre 0 et comprenant entre eux un angle 6.
Soient x',y etx", y les coordonnées des extrémités A' et B' des deux demi-diamètres conjugués OA' et OB'; x, y les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe; nous avons (t;oir plus loin n"* 210] le triangle
A'OM=:=hi(^/ - r^') sin0, VOM=z±{{xy -yx") sin0, A'OB' = ±:^(x'/'-/ar'') sln 0; et, comme
il vient
A'OM-hB'UAl =A'OB ,
i^jcy'^xx'Y-h [xy'^rx''Y = {xY^yx"]\
Telle est l'équation de l'ellipse rapportée à deux axes de coordonnées quelconques passant par le centre de la courbe.
^*) DosTOi, La Science, p. 998, i855, a* semestre. — Archives de Mathéma^ tiques d de Physique^, t.XLV1, 1866; bulletin bibliographique ^ p. 5.
l68 LITRE III. — CHAPITEB I.
en fonction de coordonnées {x\y)ei (^Jc^^/') des extrémités de deux diamètres conjugués.
Si les coordonnées x", y^ sont imaginaires et de la forme oLsl — I, cette équation représentera l'hyperbole rapportée à son centre.
200. Propriétés des fonctions homogènes du second degré. — Nous avons besoin, dans la suite, de nous appuyer sur quelques propriétés, dont jouissent les fonctions homogènes du second degré à un nombre quelconque de variables. Nous les établirons, en partant de la fonction à trois variables
{ I ) f[xyj'y z) = A^»-h 2B:ry-+- Cj^-h 2Da:3-H E/-« -4- F^*.
I** Dans cette fonction, donnons aux variables x, yy z les accroissements respectifs x\y\ z'; elle devient
= A(x-^x'y-h'ïB{x-{-x') (j-h/) -hC(/4-/)»
-H 2D (or + j:') (z + z') -4- 2E (7 -4- r') [z + z') H- F (z -4- z']\
Si nous développons le second membre et que nous ordonnions le résultat suivant les puissances des variables x,y% z, nous verrons qu'il se composera des trois parties
A^'-h iBxy -^ Gj^-J- 2Dj7Z-f- ^Ejrz -h ¥z^=f{x,y', z), IX (Ax'h- B/h- Dz') -4- 2/ (Ba;'H- C/-f-E«') 4- 22 (D:r'-h E/4- Fz') = xf^ -^xf.'-^ ^L^^ A:c'»-h 2Bxy-h C/»-H 2D:c'z'-H 2E/V.-t- F2''=/(x',y, z\\ donc on a
2® Dans cette égalité permutons les variables âr, ^, js avec leurs accroissements x' , y ^ z'; le premier membre ne change pas; par suite, il en sera de même du second membre; donc il vient
iPPUCinOM k Là GAOIltTMB ANALYTIQUE A DIOX DiaBNSIONS. 169
li s'ensuit que le développement (II) peut encore s'écrire
3** Dans celui-ci remplaçons x', y y z' par — ar, -- j^, — z; le premier membre se réduit évidemment à zéro, tandis que ^ fL -^ y Jy-^ z' fs^^ change en - [xf^^ jrf^-^ zf^] et f[x\yy z'] enf(x,Xf 2). Nous obtenons ainsi l'égalité
qui est une conséquence du théorème d'Euler sur les fonclions homogènes.
4"* Nous pouvons retrancher du second membre de cette égalité le second membre de l'égalité (III) et ajouter le résultat au premier membre.
Il vient ainsi
5<* Admettons que l'équation
[2] fi^fX) =Aj:*-f zBxx-h C7»-h2Dx-4-aE7-4'F = o
représente une conique à centre. Le premier membre sera identique avec (i]> si Ton fait dans cette dernière fonction z =i= I.
Désignons par a ei b les coordonnées du centre. Si dans l'équation (VI) nous posons x'=a,y=:b,z=:z'= i et que nous observions que
^.,=/^=o. /;=/;=o, /;=2(Dfl4-E6 + F),
celle équation (VI) deviendra
l\ii) .2/(^,r) = (^-«)/l+(r-*)/;+^H = o,
où
H = Da-4-E6-t-F.
Telle est la forme sous laquelle peut se mettre Véquation
170 I.1VH8 III. — GUAFITRB i.
des courbes du second degré, par F introduction des coordonnées du centre.
201 . Équations aux axes des courbes du second degré ( * ) . — Soit [x\y^) un sommet de la conique (2]; Téquationde la tangente en ce point sera
pendant que la droite, menée du centre [a^ b) au point de contact [x\y)^ sera représentée par l'équation
Ces deux droites étant perpendiculaires, les coefBctenis de ^ et/ satisfont à la relation (YI) du n® 191. On obtient ainsi l'égalité de condition
r. fr
x'—'a-\-[y'-'b)co^B r'— ^ 4- (a;'— a) cu^Ô
Cette équation a lieu pour toute droite menée du centre [a, b) à un sommet quelconque de la surface; donc l'équation qu'on obtient en y supprimant les accents des variables, ou bien
f. fy
(VIII)
^ ' ar — tf H-(/— 6)cos0 y— b -^ [x -r^ a] cosB^
est l'équation aux axes de la conique [1).
202. Grandeur des axes des courbes du second degré. — Dans l'équation précédente multiplions les deux termes de la première fraction par x^a, ceux de la seconde par/ — fr, ' puis faisons la somme des numérateurs et celle des dénominateurs; nous obtenons ainsi une fraction dont le numérateur, en vertu de l'équation (VU), est égal à — 2H et dont le dénominateur est égal à R% R désignant la distance du centre an sommet de la courbe.
(*) DotTOR, La Science^ i855, 3* semestre, p. 869.
APPUCATION A LA GfiOllÉTRIB A» ALTTIQUB A DEUX DIMENSIONS. 1 7 1
Nous roriDons ainsi les égalités
C ^ Ç = -.iM
j: — aH-(j— ft)cos0 7-— 6-+- (^ — a) COS0 R»'
qui, par le développement des dérivées, deviennent
A (^ — g) 4- B(r - fe) B(ar - a) H- C{y^b) H X— a-f- 1 r — Oj cobu'" y— 6-+- (x — a) co&6~~ R*'
Nous en tirons les deux équations homogènes
(AR»-hH)(x — a)-f-(BR»H-Hcose)(7— 6) = o, (BR»-+-Hcos^e) (ar — a)-f-(CR»-+-H)(/ — 6) = o.
Eliminant les variables x — a ei y— b^ on obtient l'équation
AR»-f-H BR»-fHcose
BR«-hHcosO CR»-hH
IX
qui donne les carrés des demi-axes de la conique à centre {^i). En développant le déterminant, on la change en
(X ) (AC - B»)R* -H (A - aB cos0 + C)HR' -h H» sin'0 = o.
203. Conditions pour qne Téquation générale da second degré représente deux droites parallèles. — L'équation (2) représentera deux droites parallèles à la ligne
X y si toute tangente
est parallèle à cette droite, c'est-à-dire si Téquation
est vérifiée, quelles que soient les coordonnées x', f du point de contact.
Or réquation précédente revient à
(Aa + Bft)x'-f (Ba-4-C6)/-+-Da-hE6 = o;
LIYBB III. — CHàPITEI I. — APPLICATION, ETC.
et, pour que celle-ci soit satisfaite par les coordonnées de tout point de la courbe, il faut et il suffît que l'on ait à la fois
Aa-HB6 = o, Ba-+-Cft = o,
Da-f-Eft = o.
• Ces trois équations ne sauraient être satisfaites par les
mêmes valeurs des paramètres a et 6, que si Ton a les trois
relations (131)
