DU TRIANGLE

204. Expression en déterminant de la surface S du triangle ABC, en valeur de ses trois câtés BC = a^ CA = b, AB = c. — Puisque !2S = 6csinA, on a

c' bccosA

6ccosA . A'

4S'=:6'C'(I — C0b'A) = 6'c' — fc'c'cos'A

ou, en multipliant par 2 chacune des deux lignes et en obserlanl que 2fcccosA = 6' -h c^ — aS

2c' 2frccosA abc cosA 26*

é'-hc*— a* 2c'

Nous pouvons remplacer ce déterminant par un déiermi- Dant équivalent du troisième ordre et écrire (67)

i6S*= o 2 6-* b^-hc' — a'

Ajoutons la première ligne à chacune des deux suivantes et dans le déterminant résultant changeons les signes des deux dernières colonnes; la valeur du déterminant résultant n*en

174 LITRB 111. — GHÀPITRB II.

sera pas altérée et il nous vient (60)

Ce déterminant peut à son tour être remplacé par te déter* minant équivalent du quatrième ordre (67)

/l» fc»

-ft'

Enfln dans ce dernier déterminant ajoutons la seconde co* lonne à chacune des deux suivantes; nous trouvons ainsi l'expression demandée

Ce déterminant, en vertu de la transformation du n"* 74, revient au suivant:

Cette dernière forme peut s'obtenir, en s*appuyant sur le théorème suivant.