Nouvelle expression de la surface du triangle
Vaire d'un triangle est égale au demi-rayon du cercle circonscrit^ multiplié par la somme des produits que l'on obtient, en multipliant chaque côté par le cosinus de l'angle opposé ['].
(*) DosTOE, L* Instruction puhliçue, 1874» p. laS, et Arckiret de Mutkémstiques et de Physique^ 1875» t. LVII, p. 2o4*
SURFACE DBS POLYGONES. I75
Soient 0 le centre et R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Si nous tirons les rayons AO, BO, CO, nous décomposerons ce triangle dans les trois triangles isoscèles BCO, CAO, ABOy dont les angles au sommet sont les doubles des angles opposés du triangle.*
Or, si du centre 0 nous abaissons sur le côté BC la perpendiculaire OD, nous formons le triangle rectangle BDO qui donne OD=:OBcosBOD = RcosA; d'ailleurs BC = a; par suite on trouve que le triangle BC0=7Rtf cosA. On verrait de même que CAO=yRftcosB, ABÔ=jRecosC. Nous obtenons ainsi, pour la surface S du triangle ABC,
S =iRa cosA H- \Kb cosB +yRc cosC, ou
(UI) S =j^{a cos A -+- b cosB H- c cosC).
206. Corollaire I. — L'aire d*un triangle est égale au demi-nxjron du cercle circonscrit, multiplié par le périmètre du triangle qui a pour sommets les pieds des trois hauteurs du triangle donné.
207. Corollaire H. — Si nous multiplions Tégalité précédente par la relation connue ^KS = abc, d'abord membre à membre, puis en croix, nous arriverons aux deux expressions
(IV) S*=ja6c(acosA-f-6cosB-f- ccosC),
abc
2(acosA-f-6cosB-+-ccosC)
208. La première de ces deux équations est très-impor- Unte; elle nous permet de trouver immédiatement l'expression en déterminant de la surface du triangle en valeur des trois côtés.
En effet, si noiTs considérons cette équation comme simultanée avec les trois équations que Ton obtient, en projetant sur chaque côté du triangle la ligne brisée formée par les
176 LITRB 111. — CHAPITRE II.
deux autres» nous aurons un système de quatre équations linéaires
-7 a cos A — b cosB — c cosC = o,
abc
a — o.cosA -—c cosB — b cosC = o,
6 — c cosA — o.cosB— a cosC =: o,
c — b cos A — a cosB— o.cosC=:o,
entre les trois inconnue^ — cos A, — cosB, — cosC. L'élimination de ces inconnues nous donne de suite la résultante
abc
rons
abc
en développant le premier déterminant, qui se réduit à 2abc, nous trouvons l'expression
pour le carré de la quadruple surface du triangle ABC, dont les côtés sont a, b, c.
309. Transformation de ce déterminant en ,prodait - Remplaçons la première colonne par la somme des quatre colonnes; le déterminant ne change pas de valeur et nous
SUBFACB DES POLTGONBS. 1^7
obtenons» en divisant la première colonne résultante par
= — («H- 6-hc)
donc le déterminant est divisible par a-^ b -^-c.
Bans le même déterminant (II), de la somme des deux premières colonnes retranchons la. somme des deux dernières;
il nous viendra
}ZT suite le déterminant est aussi divisible par 6 + c — a. On rerrait de même qu'il est encore divisible par C"\-a—b et lar a -4- 6 — c, de sorte qu'on peut écrire
i6S'= (fl-h6-»-c){6-he — a)(c-f-a — 6)(a-f 6 — c)xg,
)ii il reste à déterminer q.
Or dans le déterminant (II) le produit des éléments situes ur la seconde diagonale principale est &; donc il est —& lans le déterminant développé. Mais il est aussi — & dans le iroduit des facteurs qui précèdent q\ on a donc q = \f et il
ient
V) i6S'=(a-J-ft-Hc)(6 4-e — a)(c-f a — 6) (a 4- 6 — c).
Do9TO»- — Déterm. is
178 LIVRB 111. — CHàPITBB II.
210. Problème. — Un triante ABC a 5011 sommet k àT origine des coordonnées ; calculer la surface S de ce triangle en valeurs des coordonnées x\ y' et x^'^y^ des deux autres sommets B et C.
Posons AB = p', AC = p', el l'angle XAB = a\ XAC = a'. Si nous supposons le côié AB dirigé entre Taxe des x el le c6lé AC, nous aurons
ou
2S = AB. ACsin BAC = p'p'sin [oT — a'), 2S = p'cosa\p''sina*'— p'sina'.p^'coso^;
or, les axes des coordonnées étant rectangulaires, on a
p' cosa'= x', p'sina'^:/'; p^cosa''= x^9 p''slna^=/';
par conséquent il vient
aS = x'y' — y x^f
ou bien
Si les axes des coordonnées sont obliques et comprennent entre eux un angle d, on trouvera d'une manière analogue que I
aS =
sinO = (:r'/'— /x*) sin e.
211. Expression en déterminant de la surface dn trianglij ABC en valeur des coordonnées x^ y; Xi, /,; Xj, r> de ses troil sommets A, B, C. — - Transportons Torigine des coordonnées au sommet A et appelons x'y/; x", y les coordonnées del deux autres sommets B et G par rapport à cette nouvelle on-* gine, de sorte que
Xi=x-{'X\ yt=zy^^y, Xa = jp -4- j;*, yt = y-\-y.
SURFACB DBS P0LT60NB8.
De ces égaillés nous tirons
X — Xf
jt
Substituant ces valeurs dans l'expression (2), nous obtenons
OU, en vertu du n*> 64,
X,^X Xi— Y
x% — X Yx—y
sind.
aS= o Xy — x Xx—y sin0.
o oTj — X y\ — X
Ajoutons la première ligne à chacune des deux suivantes; le déterminant ne change pas de valeur, et nous trouvons
(VI
sind,
pour l'expression demandée de la double surface du triangle.
212. Delizième méthode pour calcnler la surface d'un triangle en valeur des coordonnées de ses sommets. — Si nous considéroDS pour 00 moment les coordonnées x çXy comme les variables courantes, Téquation
A= I X, Xx =0
représentera la droite qui passe par les deux sommets (^n/i), (•^s^j,) du triangle (192).
Dans cette équation les coefRcients des variables x eix sont
=Xx-r:
par conséquent la distance /> = ÀD d'un point quelconque À du plan à la droite BC ou A = o est ( 188)
AsinO
v^('^i-^J'-+-(ri~r2)'-+-î»(^i--^,)lr^-r,)cosô'
