LIVRB III. — CHAPITRE II

or la quanlité sous le radical exprime le carré de la distance des deax

points B et G, de sorte que le radical est égal au côté BC du triangle ÂBC;

on a donc

BC X ;? ou BC X A.D = sinO.

Mais BC X AD mesure la double surface 2 S du triangle ABC qui a la droite BC pour base et le point A pour sommet. Il vient donc aS =ÀsinO, comme plus haut (211).

213. Corollaire I — - Multiplions la première colonne de (VI) successivement par a et b^ et retranchons les produits de la seconde et de la troisième colonne; la valeur du déterminant (VI) n'est pas altérée et Ton

a aussi

(VII) aS= I X, — a Yx—b sinO.

214. Corollaire n. — Dans le déterminant (VI] retranchons la première ligne de chacune des deux autres; nous trouvons encore

(VIII) îiS =

o jr,~x 7,—^

comme au n'^âil.

sinô =

^ Xt-y

sinO,

215. Deoidèine méthode pour déterminer la surface d*an triangle en Taleur de ses trois côtés. — Reprenons la formule (i) du n*210

et élevons au carré les deux membres de cette égalité ; nous obtenons, en multipliant par 4)

-kia^x'-^yy) %(x'^-^y^)

or il est aisé de voir qu'on a d*abord

puis

/i» = (y-x')»-h (/-/)»= x'»-Hr''-+- x">-f-/» - a(x'x'-4-//;,

d*où

a [x'x'-^ /f) = (x"-4- /«) -H ( «" H- j") - fl« = ft» -H e* - a\

SUIFACS DES POLTGONXS.

Leeanré de la quadruple surface du triangle sera par suite

ne'

Ce déterminant est identique avec celui du n*" 201.

* 216. Troisième méthode pour calculer la surface d'nn triangle en Talenr des trois côtés. ^ On peut aussi obtenir la valeur (I) du D** 204, en partant de Texpression générale (VI) de la surface du triangle en fonction des coordonnées des sommets.

En effet, le déterminant (VI) pouvant se mettre sous chacune des deux formes suivantes :

aS=:

aS=-

1 o X jr

on a, en multipliant membre à meihbre et ligne par ligne,

xj-h^î *,x,-Hjr,j,

I xx,-^^, x,x,-h7,j, ^Î-Hjj

multiplions par —a les trois dernières lignes, puis divisons par — 2

la première colonne, le déterminant sera multiplié par 4) de sorte qu*il

rient

I — 2(X,-H7,) -2(XX, -H:^,) -2(xX,-H^J

I — 2 ( XX, -h^, ) - a (xj H- ^î ) - a (x,x, h- 7, rj I --a(xx,-h^,) -a(x,x3-i-jr,J,) — a(x;-+-j5)

Aux trois dernières colonnes ajoutons la première multipliée successivement par x'-h/', xî-H/î, xj -hjrî; nous trouvons