SS

Multiplions ces deux égalités membre à membre, il nous vient

I ^i-iWXifi 'lA-^y^y'x ^^A-^x^yi

1 J?,.i;-+-r.ya ^.•^a-*-r,/a JC^A-^Xû\ I X^J^^-\-X,y^ ^a-^. + riy» ^z^^-^Xifz

Représentons lesf distances des sommets du premier triangle à ceiu du second par les notations

AA' = ^/,,, AB' = rf,„ AC = rf,„ BA'=r/,., BB'=^„, BC' = rf„, CA' =./,., CB' = ./„, CC' = rf33,

où les premiers indices i, a, 3 se rapportent aux trois sommets respectifs A, B, G du premier triangle ABC, pendant que les deuxièmes indices I , a, 3 se rapportent aux sommets respectifs du second triangle A'B'C. Faisons les distances des mêmes sommets à Torigine 0 des coordonnées, savoir :

kO =a, BO =6, CO =e,

Il est évident que

ou

On a par suile, en général,

îi (-^i •*'. -^- ^ .J '.) = ^' -»- a" — <',*. , a(^,y,-hj,^>',) = û»-+- b"^d\,

8URPAGB DBS P0LT60NBS.

Cela étant, dans notre déterminant (5), multiplions les trois dernières lignes par a, puis divisons par a la première colonne résultante : le déterminant sera multiplié par a': 2 = a' =4* Remplaçons ensuite les sommes de produits par les valeurs ci-dessus; nous obtenons Végalité

-i6SS'=

- i6SS'=

, a'^a'*'-d\ b^^a'^—di, c^-^a'^^d^,

, a''hb'^-^d,\ b'-^b'^'-di^ c''^b"^d,\

i a^^c'^-'d,\ b^-^c'^ — dj^ c'-hc'' — ^3*3

Nous pouvons transformer ce déterminant en un autre plus simple. Pour cela conservons la première colonne ; multiplions-là ensuite successivement par a', b^y c* et retranchons les produits respectivement des trois dernières colonnes; le déterminant ne change pas de valeur et

Ton a

I a'*-rf.^ a"-^d,\ a"^d,\

I c"-rf,», c'^-di, c''-d,\

Dans ce déterminant conservons la première ligDe; multiplions-la en- ' suite successivement par a**, b"j c'^ et retranchons les produits respectivement des trois dernières lignes ; le déterminant conserve sa valeur,

et il vient