CHAPITRE
* 219. Prodnit de la surface S d'un triangle ABC par la surface S' du triangle À'fi'C, dont les sommets Â', B', C sont les centres des trois cercles ezLnscrits. — Il est facile de trouver que
sont les angles du second triangle, qui a pour côtés
a = r? o = srî C =
. A sin-
sin-
sin-
Les carrés des distances des trois sommets A', B', C du premier triangW aux sommets du second seront donc
^ * = AA' = bc coi" cot -
d,\=AB'*=
d,\=Aa =b
sin'-
TTC sm-
sm'- . ?
siu'-
bcp p — a
bc{p — c)
hr{p-^b\^
ca{p-c) p — a
cap
ca(p — n)^
nb[p-^b) p-a
fihip — a^
abp
SOaFÀCS DBS POLYGONES. 187
Si nous substituons ces valeurs dans la formule (XI), nous verrons que
i6SS' = —
bcp
bc(p — c) p — b p— b
bc(p — b) ca(p—n)
ca(p — c) ab(p — b) P — a p-^a
cap ^b{p — a)
abp
abi
Multiplions la première ligne successivement par les quantités — — — , et retranchons les produits respectivement des trois der-
nières lignes
; ; il nous vient
i6SS'=-
1 bc — ca I — bc ca
-ab -ab
-bc bc
ca — ca
ab ab
I — ^ —ca
ab
bc
ca
-ab
Le dernier déterminant se déduit du précédent en changeant d*abord les sig;nes des trois dernières colonnes, puis le signe de la première ligne résultante.
Dans ce déterminant multiplions les quatre colonnes respectivement par abc, a, 6 et c; puis divisons par abc chacune des trois dernières lignes résultantes; le déterminant aura été multiplié par la fraction
nhr.a^b.c ï .» • j •.
-; = r- = -7—; il Viendra, par suite,
abc. abc, abc abc^ '^
i6SS'= — «^
— ab(
= abc
OQ
4SS'=û^c(rn-6-4-c).
Si R est le rayon du cercle circonscrit au triangle donné ABC, on aura abc == 4 ^S; ce qui donne
LIVBI III. — CBAPITRI II.
Surface des triangles inscrits dans les courbe^ du second degré.
227. Surface du triangle inscrit dans la parabole 7*= ipxj les axes des coordonnées étant rectangulaires. — Dans lil formule (VI] du n"^ 211 posons d = go*" et
np
ip
np
elle devient
ou bien
ip
le dernier déterminant étant égal à (7 -+-/') —(/-f-^) =7'—/» on a enfln
Nous pouvons donner une autre forme à cette expression. Désignons par a, a% a^ les trois côtés du triangle inscrit dans la parabole et par y, y\ y" les cordes focales respectivement parallèles à ces côtés. Nous avons
puis
SOaFACB DES POLYGONES. 189
Or, les abscisses des intersections de la corde focale
ivec la parabole Y*= i^X étant données par l'équation
OU par
on a
il Yîent par suite Nous trouvons ainsi que
Hibstituant ces valeurs dans la formule (i) élevée au carrée, aous obtenons l'expression
Le carré du rayon du cercle circonscrit à ce triangle sera
221. Surface du triangle compris entre les trois tangentes menées en (x,y), (x',/), [x",y) à la parabole. — Les points d'intersection mutuelle de ces tangentes sont (')
(*) DosTOK, Nouvelles Annales de Mathématiques^ 3' série, 1870', t. IX, p. 537, H 1871, t. X, p. 43.
